Domanda su diagonalizzazione
Ciao, sto affrontando il discorso della diagonalizzazione di una matrice e volevo sapere se quanto ho appreso è corretto.
Se si verificano le seguenti condizioni, e cioè che:
1) ho un'applicazione lineare $T$ definita, per esempio, da $V$ a $W$, e una base di $V$ è data dai vettori $v_1..v_n$;
2) si verifica che $T(v_i)=a_i * v_i$, cioè la base di $V$ è un insieme di autovettori;
Allora, se $A$ è una certa matrice associata all'applicazione $T$, posso sostituire la matrice $A$ con la matrice diagonale che ha sulla diagonale gli autovalori della trasformazione. E' giusto?
Il mio libro lo espone come un'osservazione, ma io penso sia un vero e proprio teorema quello che ho detto, perchè la cosa di sostituire $A$ con la matrice diagonale non mi sembra molto ovvia, dunque penso ci sia anche una dimostrazione dietro, o sbaglio?
Se si verificano le seguenti condizioni, e cioè che:
1) ho un'applicazione lineare $T$ definita, per esempio, da $V$ a $W$, e una base di $V$ è data dai vettori $v_1..v_n$;
2) si verifica che $T(v_i)=a_i * v_i$, cioè la base di $V$ è un insieme di autovettori;
Allora, se $A$ è una certa matrice associata all'applicazione $T$, posso sostituire la matrice $A$ con la matrice diagonale che ha sulla diagonale gli autovalori della trasformazione. E' giusto?
Il mio libro lo espone come un'osservazione, ma io penso sia un vero e proprio teorema quello che ho detto, perchè la cosa di sostituire $A$ con la matrice diagonale non mi sembra molto ovvia, dunque penso ci sia anche una dimostrazione dietro, o sbaglio?
Risposte
nessuno sa aiutarmi?
Anzitutto si diagonalizzano endomorfismi, quindi in generale la tua applicazione $T$ deve essere definita da $V$ in $V$ o da $W$ in $W$.
In realtà non capisco bene il tuo dubbio. Nel senso che se hai un endomorfismo $T$ ed una base $v_1,...v_n$ di $V$, avrai, associata ad essa, una matrice $A$ che avrà una sua forma.
Se per caso $T$ - o equivalentemente $A$- è diagonalizzabile, vuol dire che esiste una base $w_1,...,w_n$ di autovettori. La matrice che rappresenterà $T$, rispetto a questa nuova base, avrà forma diagonale. Questo fatto è piuttosto ovvio, discende infatti dalla definizione di matrice associata e di autovettore.
Però non è che sostituiamo $A$ con una nuova matrice, ma passando alla base di autovettori abbiamo una nuova matrice $D$ -che rappresenta sempre lo stesso endomorfismo- diagonale.
Ovviamente poi sappiamo che $A,D$ sono matrici simili.
In realtà non capisco bene il tuo dubbio. Nel senso che se hai un endomorfismo $T$ ed una base $v_1,...v_n$ di $V$, avrai, associata ad essa, una matrice $A$ che avrà una sua forma.
Se per caso $T$ - o equivalentemente $A$- è diagonalizzabile, vuol dire che esiste una base $w_1,...,w_n$ di autovettori. La matrice che rappresenterà $T$, rispetto a questa nuova base, avrà forma diagonale. Questo fatto è piuttosto ovvio, discende infatti dalla definizione di matrice associata e di autovettore.
Però non è che sostituiamo $A$ con una nuova matrice, ma passando alla base di autovettori abbiamo una nuova matrice $D$ -che rappresenta sempre lo stesso endomorfismo- diagonale.
Ovviamente poi sappiamo che $A,D$ sono matrici simili.
Ok, grazie mille, piccolo OT, mi sto impazzendo con il determinante di questa matrice:
$((-1/3,1/3,1/3),(0,2,-1),(0,-1,1))$. Fino a questo punto della riduzione il determinante viene $-1/3$, mentre, se procedo ulteriormente con la riduzione, sostituendo alla terza riga il prodotto della terza riga per due più la somma della seconda, cioè ottenendo la matrice $((-1/3,1/3,1/3),(0,2,-1),(0,0,1))$, il determinante di quest'ultima mi viene $-2/3$. Sento che mi sfugge qualcosa di molto banale...
$((-1/3,1/3,1/3),(0,2,-1),(0,-1,1))$. Fino a questo punto della riduzione il determinante viene $-1/3$, mentre, se procedo ulteriormente con la riduzione, sostituendo alla terza riga il prodotto della terza riga per due più la somma della seconda, cioè ottenendo la matrice $((-1/3,1/3,1/3),(0,2,-1),(0,0,1))$, il determinante di quest'ultima mi viene $-2/3$. Sento che mi sfugge qualcosa di molto banale...
non ne sono venuto a capo:(
Guarda che le mosse di Gauss non alterano lo spazio delle soluzioni del sistema lineare associato, nè il rango della matrice, ma in generale alterano il determinante.
Scambiare una riga con un'altra fa cambiare segno al determinante (che rimane invariato in valore assoluto), moltiplicare una riga per un numero moltiplica il determinante per quello stesso numero, l'unica mossa che non altera il determinante è sommare una riga con un'altra. Più in generale, sommare ad una linea (riga o colonna) una combinazione lineare di altre linee (dello stesso tipo) non altera il determinante.
Scambiare una riga con un'altra fa cambiare segno al determinante (che rimane invariato in valore assoluto), moltiplicare una riga per un numero moltiplica il determinante per quello stesso numero, l'unica mossa che non altera il determinante è sommare una riga con un'altra. Più in generale, sommare ad una linea (riga o colonna) una combinazione lineare di altre linee (dello stesso tipo) non altera il determinante.
Non credo che le operazioni che hai fatto non alterino il determinante. Vale per il rango ma non credo per il determinante.
Per il determinante vale invece questa proprietà: sia $A$ una matrice di ordine $ n$ . Sia $B$ la matrice che si ottiene da $A$ sostituendo tutti gli elementi di una riga o di una colonna con la somma degli elementi di quella riga o colonna più la somma dei prodotti di numeri qualsiasi per i corrispondenti elementi delle altre righe o colonne (un numero per ogni riga o colonna). Allora $det A = det B$ .
Per il determinante vale invece questa proprietà: sia $A$ una matrice di ordine $ n$ . Sia $B$ la matrice che si ottiene da $A$ sostituendo tutti gli elementi di una riga o di una colonna con la somma degli elementi di quella riga o colonna più la somma dei prodotti di numeri qualsiasi per i corrispondenti elementi delle altre righe o colonne (un numero per ogni riga o colonna). Allora $det A = det B$ .
"mistake89":
Non credo che le operazioni che hai fatto non alterino il determinante. Vale per il rango ma non credo per il determinante.
Per il determinante vale invece questa proprietà: sia $A$ una matrice di ordine $ n$ . Sia $B$ la matrice che si ottiene da $A$ sostituendo tutti gli elementi di una riga o di una colonna con la somma degli elementi di quella riga o colonna più la somma dei prodotti di numeri qualsiasi per i corrispondenti elementi delle altre righe o colonne (un numero per ogni riga o colonna). Allora $det A = det B$ .
Bene, io ho sostituito la terza riga con la riga che si ottiene moltiplicando la terza per due e sommandoci la seconda...il determinante dovrebbe essere rimasto lo stesso giusto?
No, praticamente la tua ultima riga avrebbe dovuto essere del tipo $0+k_10-k_2/3$, $-1+2k_1+k_2/3$, $1+k_1/3-k_2$.
"lisdap":
Bene, io ho sostituito la terza riga con la riga che si ottiene moltiplicando la terza per due e sommandoci la seconda...il determinante dovrebbe essere rimasto lo stesso giusto?
"me stesso":
[omissis] moltiplicare una riga per un numero moltiplica il determinante per quello stesso numero [omissis]
@ Lisdap: niente up prima di 24 ore, per piacere.
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