Domanda su base spazi
Buongiorno,
vado cercando un aiuto su un fatto teorico che non mi è chiaro e che spesso il professore usa. Ma non capisco da cosa discenda.
Spesso quando c'è uno spazio V di dimensione n, noto che se ho {v_1,...v_k} contenuto in V alllora è sistema di generatori in particolare se k maggiore o uguale ad n e se {v_1,...v_k} contiene n vettori linearmente indipendenti.
Le domande per cui non mi è chiaro questo ragionamento sono due:
1) perché se ho un insieme di n vettori linearmente indipendenti e sono in uno spazio V di dimensione n sicuramente esso è un sistema di generatori (e di più una base?). NOn capisco cosa lo garantisca e mi sfugge il ragionamento teorico (spero qualcuno possa riprodurmelo perché ci ho ragionato tanto ma non riesco a capire)
2) perché questo ragionamento al punto 1) funziona per n maggiore o uguale di k di cui sopra.
vado cercando un aiuto su un fatto teorico che non mi è chiaro e che spesso il professore usa. Ma non capisco da cosa discenda.
Spesso quando c'è uno spazio V di dimensione n, noto che se ho {v_1,...v_k} contenuto in V alllora è sistema di generatori in particolare se k maggiore o uguale ad n e se {v_1,...v_k} contiene n vettori linearmente indipendenti.
Le domande per cui non mi è chiaro questo ragionamento sono due:
1) perché se ho un insieme di n vettori linearmente indipendenti e sono in uno spazio V di dimensione n sicuramente esso è un sistema di generatori (e di più una base?). NOn capisco cosa lo garantisca e mi sfugge il ragionamento teorico (spero qualcuno possa riprodurmelo perché ci ho ragionato tanto ma non riesco a capire)
2) perché questo ragionamento al punto 1) funziona per n maggiore o uguale di k di cui sopra.
Risposte
"nicutra":
Spesso quando c'è uno spazio V di dimensione n, noto che se ho {v_1,...v_k} contenuto in V alllora è sistema di generatori in particolare se k maggiore o uguale ad n e se {v_1,...v_k} contiene n vettori linearmente indipendenti.
Osservazione
Basta la parte che dice "se ${v_1,...v_k}$ contiene $n$ vettori linearmente indipendenti". Da questo e dal fatto che $V$ ha dimensione $n$ si deduce $k\geq n$.
"nicutra":
Le domande per cui non mi è chiaro questo ragionamento sono due:
1) perché se ho un insieme di n vettori linearmente indipendenti e sono in uno spazio V di dimensione n sicuramente esso è un sistema di generatori (e di più una base?). NOn capisco cosa lo garantisca e mi sfugge il ragionamento teorico (spero qualcuno possa riprodurmelo perché ci ho ragionato tanto ma non riesco a capire)
2) perché questo ragionamento al punto 1) funziona per n maggiore o uguale di k di cui sopra.
Per rispondere alla domanda 1) (che è il punto cruciale) bisogna usare i fatti seguenti:
(a) Def. Dico che $v_1,...,v_r$ sono una base per $V$ se $v_1,...,v_r$ sono linearmente indipendenti e generano $V$.
(b) Teorema Se $v_1,...,v_r$ e $w_1,...,w_s$ sono due basi per $V$, allora $r=s$.
(c) Def. Se $V$ ha una base fatta di un numero finito di vettori $v_1,...,v_n$ chiamo $n$ la dimensione di $V$ - questa definizione ha senso a causa di (b).
A questo punto dovresti essere in grado di capire come mai vale la mia osservazione e come mai vale il punto 2)
Ok, quanto dici in realtà lo so, quindi deduco che mi areno su qualcosa di stupido ma non riesco ad afferrarlo.
Ragioniamo ancora sul punto 1)
"perché se ho un insieme di n vettori linearmente indipendenti e sono in uno spazio V di dimensione n sicuramente esso è un sistema di generatori (e di più una base?)"
Io ho n vettori linearmente indipendenti e sono in V t.c dim(V)=n.
Ora, io so che ho un insieme libero e va bene, ma chi mi garantisce che quegli n vettori siano anche generatori?
Credo sia qui che mi blocco :\
Ragioniamo ancora sul punto 1)
"perché se ho un insieme di n vettori linearmente indipendenti e sono in uno spazio V di dimensione n sicuramente esso è un sistema di generatori (e di più una base?)"
Io ho n vettori linearmente indipendenti e sono in V t.c dim(V)=n.
Ora, io so che ho un insieme libero e va bene, ma chi mi garantisce che quegli n vettori siano anche generatori?
Credo sia qui che mi blocco :\
Hai ragione!. Da quello che ho scritto non si ricava la tua proprietà. E' invece vero il contrario e cioè che quello che dici tu è alla base del teorema sulle basi che ho scritto nell'altro messaggio. Per cui la risposta alla tua domanda sta nella dimostrazione del teorema sulle basi.
Direi che le cose stanno così: il "risultato cruciale" è il seguente:
Lemma Siano $v_1,...,v_N$ una base di $V$ e siano $w_1,...,w_N$ in $V$ linearmente indipendenti. Allora $w_1,...,w_N$ generano $V$ (e dunque sono una base).
Nota che dal Lemma segue facimente il Teorema (e appunto ritengo che se hai studiato il Teorema devi aver visto una qualche forma del Lemma). Provo a darti l'idea della dimostrazione (che non è banale).
Dim. Sappiamo che $v_1,...,v_N$ generano $V$ e dunque esistono $c_1,...,c_N$ tali che $w_1=c_1v_1+\cdots+c_Nv_N$. Nota che $w_1\ne 0$ altrimenti i $w_i$ sarebbero linearmente dipendenti. Allora almeno uno dei $c_i\ne 0$. A meno di riordinare i $v_i$ possiamo supporre che $c_1\ne0$. Allora possiamo ricavare
$v_1=d_1w_1+d_2v_2+\cdots+d_Nv_N$, dove $d_1=1/{c_1}$ e per $i=2,...,N$ $d_i=-c_i/{c_1}$.
Consideriamo $V':=$ spazio generato da $w_1,v_2,...,v_N$. Allora $v_1\in V'$ per quanto appena visto e ovviamente $v_i\in V'$ se $i=2,...,N$. Ne segue che $V'$ contiene lo spazio generato da $v_1,...,v_N$, dunque $V'=V$. In definitiva
$w_1,v_2,...,v_N$ generano $V$.
A questo punto si riparte e scrivendo $w_2$ come combinazione di $w_1,v_2,...,v_N$ si riesce a ricavare $v_2$ come combinazione lineare di $w_1,w_2,v_3,...,v_N$ e si trova che $w_1,w_2,v_3,...,v_N$ generano $V$. Dopo $N$ iterazioni si trova la tesi (cioè che $w_1,...,w_N$ generano $V$).
Osservazione Se $v_1,v_2,...,v_N$ sono una base per $V$ e $w_1,...,w_M$ appartengono a $V$ con $M>N$, allora
$w_1,...,w_M$ sono linearmente dipendenti. Infatti se $w_1,...,w_N$ sono linearmente dipendenti non c'è niente da dimostrare.
Se sono linearmente indipendenti generano $V$, in particolare $w_{N+1}=c_1w_1+\cdots+c_Nw_N$ e dunque
$w_1,...,w_{N+1}$ sono linearmente dipendenti.
Corollario Se $v_1,v_2,...,v_N$ e $w_1,...,w_M$ sono due basi per $V$, allora $N=M$. Basta usare l'Osservazione e notare che i ruoli di $N$ ed $M$ sono simmetrici.
Direi che le cose stanno così: il "risultato cruciale" è il seguente:
Lemma Siano $v_1,...,v_N$ una base di $V$ e siano $w_1,...,w_N$ in $V$ linearmente indipendenti. Allora $w_1,...,w_N$ generano $V$ (e dunque sono una base).
Nota che dal Lemma segue facimente il Teorema (e appunto ritengo che se hai studiato il Teorema devi aver visto una qualche forma del Lemma). Provo a darti l'idea della dimostrazione (che non è banale).
Dim. Sappiamo che $v_1,...,v_N$ generano $V$ e dunque esistono $c_1,...,c_N$ tali che $w_1=c_1v_1+\cdots+c_Nv_N$. Nota che $w_1\ne 0$ altrimenti i $w_i$ sarebbero linearmente dipendenti. Allora almeno uno dei $c_i\ne 0$. A meno di riordinare i $v_i$ possiamo supporre che $c_1\ne0$. Allora possiamo ricavare
$v_1=d_1w_1+d_2v_2+\cdots+d_Nv_N$, dove $d_1=1/{c_1}$ e per $i=2,...,N$ $d_i=-c_i/{c_1}$.
Consideriamo $V':=$ spazio generato da $w_1,v_2,...,v_N$. Allora $v_1\in V'$ per quanto appena visto e ovviamente $v_i\in V'$ se $i=2,...,N$. Ne segue che $V'$ contiene lo spazio generato da $v_1,...,v_N$, dunque $V'=V$. In definitiva
$w_1,v_2,...,v_N$ generano $V$.
A questo punto si riparte e scrivendo $w_2$ come combinazione di $w_1,v_2,...,v_N$ si riesce a ricavare $v_2$ come combinazione lineare di $w_1,w_2,v_3,...,v_N$ e si trova che $w_1,w_2,v_3,...,v_N$ generano $V$. Dopo $N$ iterazioni si trova la tesi (cioè che $w_1,...,w_N$ generano $V$).
Osservazione Se $v_1,v_2,...,v_N$ sono una base per $V$ e $w_1,...,w_M$ appartengono a $V$ con $M>N$, allora
$w_1,...,w_M$ sono linearmente dipendenti. Infatti se $w_1,...,w_N$ sono linearmente dipendenti non c'è niente da dimostrare.
Se sono linearmente indipendenti generano $V$, in particolare $w_{N+1}=c_1w_1+\cdots+c_Nw_N$ e dunque
$w_1,...,w_{N+1}$ sono linearmente dipendenti.
Corollario Se $v_1,v_2,...,v_N$ e $w_1,...,w_M$ sono due basi per $V$, allora $N=M$. Basta usare l'Osservazione e notare che i ruoli di $N$ ed $M$ sono simmetrici.
Ti ringrazio e mi sembra chiaro. Nel frattempo in questo pomeriggio ci ho pensato ancora su un po' e avevo trovato questa giustificazione. Mi è stato dimostrato che se ho un sottospazio $W$ contenuto in $V$, e so che dim(W)=dim(V) allora W=V.
In tal caso mi pareva di poter anche giustificare così il punto 1) di cui parlavamo:
- Abbiamo $dim(V)=n$
- Io ho un insieme $W$ di $n$ vettori linearmente indipendenti, se prendo lo span di tali $n$ vettori so che lo span è sottospazio di $V$, ora: dato che gli n vettori di W sono lineamente indipendenti e generano lo span (che è sottospazio) ho che $dim(W)=n$, e così ho già terminato in quando in forza al teorema succitato $W=V$
Secondo te ho detto solo stupidaggini o potrebbe esser corretto? Perché mi pare giusto
Detto ciò rimane il punto
2) Se V è spazio di dimensione n e ${v_1,...,v_k}$ sottospazio di V, allora tale insieme è un sistema di generatori se e solo se valgono:
a) $k>=n$
b){v1,....vk} contiene n vettori linearmente indipendenti.
Dovrei dimostrare un se e solo se <=>.
In tal caso mi pareva di poter anche giustificare così il punto 1) di cui parlavamo:
- Abbiamo $dim(V)=n$
- Io ho un insieme $W$ di $n$ vettori linearmente indipendenti, se prendo lo span di tali $n$ vettori so che lo span è sottospazio di $V$, ora: dato che gli n vettori di W sono lineamente indipendenti e generano lo span (che è sottospazio) ho che $dim(W)=n$, e così ho già terminato in quando in forza al teorema succitato $W=V$
Secondo te ho detto solo stupidaggini o potrebbe esser corretto? Perché mi pare giusto
Detto ciò rimane il punto
2) Se V è spazio di dimensione n e ${v_1,...,v_k}$ sottospazio di V, allora tale insieme è un sistema di generatori se e solo se valgono:
a) $k>=n$
b){v1,....vk} contiene n vettori linearmente indipendenti.
Dovrei dimostrare un se e solo se <=>.
"nicutra":
Mi è stato dimostrato che se ho un sottospazio $W$ contenuto in $V$, e so che dim(W)=dim(V) allora W=V.
Esatto! Questo èquello che serve (in effetti è un altro modo di scrivere il mio Lemma)
"nicutra":
In tal caso mi pareva di poter anche giustificare così il punto 1) di cui parlavamo:
- Abbiamo $dim(V)=n$
- Io ho un insieme $W$ di $n$ vettori linearmente indipendenti, se prendo lo span di tali $n$ vettori so che lo span è sottospazio di $V$, ora: dato che gli n vettori di W sono lineamente indipendenti e generano lo span (che è sottospazio) ho che $dim(W)=n$, e così ho già terminato in quando in forza al teorema succitato $W=V$
Secondo te ho detto solo stupidaggini o potrebbe esser corretto? Perché mi pare giusto
Perfetto
"nicutra":
Detto ciò rimane il punto
2) Se V è spazio di dimensione n e ${v_1,...,v_k}$ sottospazio di V, allora tale insieme è un sistema di generatori se e solo se valgono:
a) $k<=n$
b){v1,....vk} contiene n vettori linearmente indipendenti.
Dovrei dimostrare un se e solo se <=>.
Ehm... Non sarà $k\ge n$? Perché se no cosa ti impedisce di prendere solo un $v_1\ne 0$ ? Chiaramente ${v_1}$ verifica a) e b) ma non genera $V$ (a meno che $n=1$)
Grazie!
Eh si quello è un bel typo. Certo, volevo $k\ge n$
correggo il precedente.
Ehm... Non sarà $k\ge n$? Perché se no cosa ti impedisce di prendere solo un $v_1\ne 0$ ? Chiaramente ${v_1}$ verifica a) e b) ma non genera $V$ (a meno che $n=1$)
Eh si quello è un bel typo. Certo, volevo $k\ge n$
correggo il precedente.
"nicutra":
Eh si quello è un bel typo.
Proprio un personaggio bizzarro
Ma poi hai dimostrato l'enunciato?
"nicutra":
Detto ciò rimane il punto
2) Se V è spazio di dimensione n e ${v_1,...,v_k}$ sottospazio di V, allora tale insieme è un sistema di generatori se e solo se valgono:
a) $k>=n$
b){v1,....vk} contiene n vettori linearmente indipendenti.
Dovrei dimostrare un se e solo se <=>.
Incuriosirebbe anche me la dimostrazione di questo, posso chiedere a @ViciousGoblin (o chiunque abbia seguito la discussione) come sarebbe meglio procedere
?
"bagig":
[quote="nicutra"]
Detto ciò rimane il punto
2) Se V è spazio di dimensione n e ${v_1,...,v_k}$ sottospazio di V, allora tale insieme è un sistema di generatori se e solo se valgono:
a) $k>=n$
b){v1,....vk} contiene n vettori linearmente indipendenti.
Dovrei dimostrare un se e solo se <=>.
Incuriosirebbe anche me la dimostrazione di questo, posso chiedere a @ViciousGoblin (o chiunque abbia seguito la discussione) come sarebbe meglio procedere
?[/quote]OK (ci provo)
Diamo per buono il Lemma del mio messaggio precedente:
Lemma Siano $v_1,...,v_N$ una base di $V$ e siano $w_1,...,w_N$ in $V$ linearmente indipendenti. Allora $w_1,...,w_N$ generano $V$ (e dunque sono una base).
o in alternativa il Teorema citato da nicutra:
"nicutra":
Mi è stato dimostrato che se ho un sottospazio $W$ contenuto in $V$, e so che $dim(W)=dim(V)$ allora $W=V$.
che sono sostanzialmente equivalenti. Dimostriamo l'enunciato 2).
Dim. Implicazione $=>$
Supponiamo che $v_1,...,v_k$ generino $V$. Definiamo
$h:=max{m\in\mathbb{N}: \exists i_1
C'è dunque questo $h$ con $1\leq h\leq k$ tale che esistono $v_{i_1},...,v_{i_h}$ linearmente indipendenti e $h$ è il massimo con tali caratteristiche. Riordiniamo i $v_i$ in modo che $v_1,...,v_h$ siano linearmente indipendenti. Per la massimalità di $h$ si ha che i $v_{h+1},...,v_k$ (if any) sono combinazioni lineari dei $v_1,...,v_h$ e dunque $v_1,...,v_h$ generano $V$ (perché per ipotesi $v_1,...,v_k$ generano $V$).
Dunque $v_1,...,v_h$ sono una base di $V$. Ma per il Lemma (anzi per l'Osservazione che si deduce dal Lemma, come nel mio messaggio precedente) deve essere $N=h$ (che mi dà la (b); inoltre $k\geq h=N$ che è la (a).
Implicazione $\Leftarrow$.
Supponiamo che valgano (a) e (b). Per la (b) esistono $v_{i_1},...,v_{i_N}$ linearmente indipendenti. Sia $V'$ lo spazio generato da $v_{i_1},...,v_{i_N}$. Allora $V'\subset V$ e $dim(V')=N$. Ma allora $V'=V$. Dunque $v_{i_1},...,v_{i_N}$ generano $V$ e a maggior ragione $v_1,...,v_K$ generano $V$.
Mi pare che torni.
Che dire, grazie mille per la chiarezza e la gentilezza nell'avermi dato una risposta!
Non ci sarei arrivato facilmente XD
Non ci sarei arrivato facilmente XD
Prego
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