Domanda su base di autovettori

[ennedes]

Salve a tutti. Mi sono imbattuta in un esercizio di cui non sono sicura.
Ho un'applicazione lineare $f: R^3 -> R^3$ con un parametro $k in R$ e dopo aver trovato la matrice associata $A$ rispetto alla base canonica, mi si chiede di determinare i valori di $k$ per cui esiste una base composta da autovettori.
Posso trovare questi valori senza trovare effettivamente la base?
Ammesso che abbia svolto correttamente i calcoli, ho trovato gli stessi valori per cui $f$ è iniettiva.

[donald_zeka]

Devi trovare il polinomio caratteristico in funzione di k e da lì studiarti i vari casi secondo la condizione necessaria e sufficiente di diagonalizzabilità. Magari posta i dati dell'esercizio.

[ennedes]

Questa è l'applicazione.

$f=( ( 2 ),( 0 ),( 2 ) ) = ( ( 2k+6 ),( 2k ),( 2k ) ) , f=( ( 0 ),( 1 ),( 1 ) ) = ( ( k ),( 1+k ),( k ) ) , f=( ( 0 ),( 0 ),( 2 ) ) = ( ( 0 ),( 0 ),( 2 ) ) $

[donald_zeka]

Sei sicura? Una applicazione lineare per essere unica e ben definita deve agire su una base dello spazio vettoriale di partenza...quella che hai scritto non agisce su una base di $RR^3$ perchè (0,0,1) e (0,0,2) sono dipendenti.

[ennedes]

Errore mio, ho sistemato.
Rispetto alla base canonica la matrice associata è:
$( ( k+3 , k , 0 ),( 0 , 1 , k ),( 0 , 0 , k ) ) $
e risulta iniettiva per $ k != 0, -3 $ se non sbaglio.

[donald_zeka]

Si ma non chiede l'iniettività, il polinomio caratteristico di quella matrice è :

$p(lamda)=(lamda-1)(lamda-k)(lamda-(k+3))$ e gli autovalori sono:

$lamda_1=1$, $lamda_2=k$, $lamda_3=k+3$. Adesso devi ragionare sugli autovalori per vedere se la matrice è diagonalizzabile.

[ennedes]

Molteplicità algebrica e geometrica corrispondono essendo entrambe 1. Quindi sì, è diagonalizzabile.

[donald_zeka]

È diagonalizzabile per quale valore di k? Come fai a sapere la molteplicità algebrica di qualche lamda senza sapere quanto vale k?
Abbiamo:

$lamda=1$
$lamda=k$
$lamda=k+3$

Un teorema dice: "condizione SUFFICIENTE affinché una matrice quadrata di ordine n sia diagonalizzabile è che abbia n autovalori DISTINTI"

Quando è che quei tre autovalori sono tutti distinti? Sono tutti distinti quando $k!=1;-2$ Quindi per valori di k diversi da 1 e -2 gli autovalori sono distinti e per la condizione sufficiente di diagonalizzabilità la matrice è diagonalizzabile. Adesso non ti resta che studiare i due casi k=1 e k=-2 e applicare stavolta la condizione necessaria e sufficiente di diagonalizzabilità, ossia molteplicità algebrica e geometrica di ogni autovalore devono coincidere.

[ennedes]

Oh, ho capito! Era il parametro a confondermi.
Quindi ottengo $(4-lambda)(1-lambda)(1-lambda)$
$ma(4)=1, ma(1)=2$ e sostituendo nella matrice, ottengo una matrice di rg=2 e una di rg=1, quindi 3-2=1 e 3-1=2.
Quando sostituisco l'autovalore nella matrice, i vettori sono già gli autovettori dell'autospazio corrispondente, giusto?

[donald_zeka]

Quando sostituisci l'autovalore nella matrice $M=A-Ilamda$, dove A è la matrice associata alla trasformazione, ottieni una nuova matrice, di questa nuova matrice devi calcolare lo spazio nullo, e i vettori appartenenti allo spazio nullo sono i vettori dell'autospazio associato. Ossia i vettori dell'autospazio associato non sono le righe di $A-lamdaI$, ma sono i vettori che sono soluzione di $vec(x)(A-lamdaI)=0$

[ennedes]

Per trovare lo spazio nullo risolvo il sistema associato, e mi ritrovo $3x-y=0$ da cui $y=3x$, supponendo x=a e z=b,
una base sarebbe $( ( 1 ),( 3 ),( 0 ) ), ( ( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) $?

[donald_zeka]

Sistema associato a quale autovalore e per quale valore di k? Se hai k=1 la matrice non è diagonalizzabile perché molteplicità algebrica e geometrica per $lamda=1$ non coincidono.

[ennedes]

Ok, allora. Ho rifatto i conti di tutti i casi e non corrisponde mai.

[donald_zeka]

Quindi è diagonalizzabile solo per $k!=1;-2$

[ennedes]

Grazie mille per l'aiuto, gentilissimo!