Domanda su autospazi
Supponendo di avere una Matrice
A = $((1,0,1),(0,1,1),(0,0,0))$
facendo i calcoli col il polinomio caratteristico, trovo la matrice
\(\displaystyle
|A - \lambda I | \)= $|((1 - \lambda,0,1),(0,1- \lambda,1),(0,0,- \lambda) )|$ = \(\displaystyle (1 - \lambda)^2 - \lambda \)
Quindi ho questi autovalori: \(\displaystyle \lambda_0 = 0 \space \space \space \lambda_1 = 1 \)
Volendo calcolare l'autospazio dell'auto valore \(\displaystyle \lambda_0 \)
\(\displaystyle \vartheta_1 \), mi calcolo la matrice:
$((1,0,1),(0,1,1),(0,0,0))$ che ha rango = 2
quindi:
$\{(x+z=0),(y+z=0), (0=0):}$ ==> $\{(x=-z),(y=-z), (0=0):}$
Qundi \(\displaystyle \vartheta_0 = L((-1,-1,1) \)
Volendo calcolare l'autospazio dell'auto valore \(\displaystyle \lambda_1 \)
\(\displaystyle \vartheta_1 \), per prima cosa mi calcolo la matrice:
$((0,0,1),(0,0,1),(0,0,-1))$ che ha rango = 1
calcolando mi trovo un sistema
$\{(z=0),(z=0), (z=0):}$
e in questo caso vale che \(\displaystyle x, y = 0 \)?
A questo punto come faccio a determinare la base di questo autospazio?
Altra domanda, come faccio a calcolare una matrice che diagonalizza A?
A = $((1,0,1),(0,1,1),(0,0,0))$
facendo i calcoli col il polinomio caratteristico, trovo la matrice
\(\displaystyle
|A - \lambda I | \)= $|((1 - \lambda,0,1),(0,1- \lambda,1),(0,0,- \lambda) )|$ = \(\displaystyle (1 - \lambda)^2 - \lambda \)
Quindi ho questi autovalori: \(\displaystyle \lambda_0 = 0 \space \space \space \lambda_1 = 1 \)
Volendo calcolare l'autospazio dell'auto valore \(\displaystyle \lambda_0 \)
\(\displaystyle \vartheta_1 \), mi calcolo la matrice:
$((1,0,1),(0,1,1),(0,0,0))$ che ha rango = 2
quindi:
$\{(x+z=0),(y+z=0), (0=0):}$ ==> $\{(x=-z),(y=-z), (0=0):}$
Qundi \(\displaystyle \vartheta_0 = L((-1,-1,1) \)
Volendo calcolare l'autospazio dell'auto valore \(\displaystyle \lambda_1 \)
\(\displaystyle \vartheta_1 \), per prima cosa mi calcolo la matrice:
$((0,0,1),(0,0,1),(0,0,-1))$ che ha rango = 1
calcolando mi trovo un sistema
$\{(z=0),(z=0), (z=0):}$
e in questo caso vale che \(\displaystyle x, y = 0 \)?
A questo punto come faccio a determinare la base di questo autospazio?
Altra domanda, come faccio a calcolare una matrice che diagonalizza A?
Risposte
Il polinomio caratteristico è palesemente sbagliato; ricontrolla i conti, l'errore è evidente. Una matrice di ordine \(\displaystyle n \) ha sempre polinomio caratteristico di grado \(\displaystyle n \), mentre nel tuo caso il polinomio è di secondo grado.
\(\displaystyle | A - \lambda I | = (1 - \lambda)(- \lambda)(1 - \lambda) = (1 - \lambda)(- \lambda -\lambda^2) = - \lambda - \lambda^2 + \lambda^2 + \lambda^3 = \lambda(\lambda^2 -1) \)
anche se era sbagliato, poiche' andavo di fretta, comunque i due autovalori che ricordavo erano 0 e 1 e lo sono anche qui.
anche se era sbagliato, poiche' andavo di fretta, comunque i due autovalori che ricordavo erano 0 e 1 e lo sono anche qui.
Bene.
Se \(\displaystyle z=0 \) gli altri due parametri sono liberi, quindi ti servono semplicemente due vettori linearmente indipendenti tali che la loro terza coordinata sia nulla.
"veence01":
A questo punto come faccio a determinare la base di questo autospazio?
Se \(\displaystyle z=0 \) gli altri due parametri sono liberi, quindi ti servono semplicemente due vettori linearmente indipendenti tali che la loro terza coordinata sia nulla.
Scusami perche' due vettori? Non e' solo 1 il vettore?
Due vettori? Perche' proprio 2?
Questi comunque dovrebbero essere \(\displaystyle v_1 = (1,0,0) \space \space e \space \space v_2 = (0,1,0) \) che appartengono a \(\displaystyle V_0 \)
Due vettori? Perche' proprio 2?
Questi comunque dovrebbero essere \(\displaystyle v_1 = (1,0,0) \space \space e \space \space v_2 = (0,1,0) \) che appartengono a \(\displaystyle V_0 \)
Tu stesso/a hai detto (giustamente) che quella matrice ha rango \(\displaystyle 1 \). Ne segue che il suo nucleo, also known as autospazio relativo all'autovalore \(\displaystyle 1 \), ha dimensione \(\displaystyle 2 \).
Ah ok, quindi se ho capito bene
la dimensione di ogni autospazio la calcolo facilmente facendo ad esempio
\(\displaystyle dim V_0 = n - rango(A- \lambda I ) \)
in questo caso \(\displaystyle dim V_0 = 3 - 1 = 2 \)
giusto?
la dimensione di ogni autospazio la calcolo facilmente facendo ad esempio
\(\displaystyle dim V_0 = n - rango(A- \lambda I ) \)
in questo caso \(\displaystyle dim V_0 = 3 - 1 = 2 \)
giusto?
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