Domanda fulminea su esercizio forme quadratiche (dubbio su un passaggio di ortogonalizzazione)

[Il_Gariboldi]

Salve, vorrei porre una domanda davvero rapida nel senso non molto calcolotica riguardo un esercizio semplice che stavo svolgendo sulle forme quadratiche.

io ho la Q forma quadratica $Q:RR^3->RR$ e $Q(x)=6x_1x_3+3x_2^2$, ci sono varie dispense da svolgere su questa forma tra le quali trovare la forma canonica e trovare la matrice P diagonalizzante.

Ho trovato la matrice rappresentativa: $((0,0,3),(0,3,0),(3,0,0))$

Ora, io ho trovato gli autospazi degli autovalori 3 e -3 di rispettiva molteplicità algebrica 2 e 1.
In particolare ho gli autospazi $V_3=Span((1,0,1);(0,1,0))$ e $V_(-3)=Span((1,0,-1))$

per trovare la matrice diagonalizzante P richiesta basta porre la base (ortogonale) di autovettori dei diversi autospazi. Sappiamo che essendo simmetrica ovviamente $(1,0,1)$ è ortogonale a tutto $V_3$, ci basta ortogonalizzare con G-S la base di $V_3$

Qui viene il dubbio:
siccome non tornava l'esercizio ho guardato la soluzione passo passo e ho notato che compio un errore teorico ma non capisco perché.
L'ortogonalizzazione svolta dall'esercitatore per trovare i vettori ortognoali di V3 è la seguente:
$v_1'=(1,0,1)-((1,0,1)*(0,1,0))/||(0,1,0)||^2(0,1,0)=(1,0,1)$[nota]che ci dice di fatto essere già ortogonale il vettore, però per esercizio l'esercitatore l'ha svolto comunque esplicitamente[/nota] (con * inteso come prodotto scalare canonico di $RR^3$) e procede identivamente per $v_2$, cioè l'altro ortogonale.
E poi lo normalizza (sempre rispetto al prodotto scalare canonico di $RR^3$)

Mentre nel mio svolgimento io avevo svolto anziché: $(1,0,1)*(0,1,0)$ a numeratore, così come per le norme, il calcolo seguente:
$(1,0,1)*((0,0,3),(0,3,0),(3,0,0))*(0,1,0)$
e sinceramente continuo a non capire perché usi il canonico, non dovrei usare il prodotto scalare indotto dalla mia forma quadratica per ortogonalizzare? Perché non è così invece?

[Il_Gariboldi]

Uhm forse ci sono ma vorrei chiedere una conferma, potrebbe essere che il motivo è il seguente: la forma bilineare ottenuta dalla forma quadratica data ha matrice rappresentativa simmetrica => questo induce un endomorfismo simmetrico rispetto al prodotto scalare canonico (avente per matrice rappresentativa, un tale endomorfismo simmetrico, proprio identica matrice di quella associata alla forma quadratica), quindi gli autovettori che ottengo da quella matrice sono rotogonali tra loro rispetto al prodotto canonico standard (per la nota proprietà degli endomorfismi simmetrici rispetto al prodotto su cui li definisco).

Funziona così? Sarebbe giusto no? Grazie

[Il_Gariboldi]

Qualcuno saprebbe dirmi se è corretta la risposta che mi sono dato? Ringrazio molto perché vorrei esserne sicuro!

[Noodles1]

Da che mondo è mondo, gli autovettori di una matrice simmetrica possono essere scelti in modo tale da formare una base ortonormale rispetto al prodotto scalare canonico.

[Il_Gariboldi]

Sì, ma la giustificazione teorica quale sarebbe? Mi sembra proprio quella che ho scritto nel mio secondo post, sbaglio?

[Martino]

Scusa, ma ti si dà una matrice simmetrica e ti si chiede di trovare una base ortogonale fatta di autovettori (che esiste per il teorema spettrale). Ovviamente l'ortogonalità di cui si parla è quella usuale. Avrai fatto altri esercizi simili penso (diagonalizzare una matrice simmetrica trovando una base ortogonale di autovettori).

[4131]

Sta usando il teorema spettrale per determinare una matrice diagonalizzante (teorema 15.7.4 e corollario 15.7.5 pag. 350). Tu invece vorresti utilizzare il teorema 15.3.8 e corollario 15.3.10 (pag. 334, 335) per diagonalizzare la matrice; c'è un esempio di applicazione (esempio 15.5.12) a pag. 343.
https://www1.mat.uniroma1.it/people/manetti/dispense/algebralineare.pdf

[Il_Gariboldi]

"Martino":Scusa, ma ti si dà una matrice simmetrica e ti si chiede di trovare una base ortogonale fatta di autovettori (che esiste per il teorema spettrale). Ovviamente l'ortogonalità di cui si parla è quella usuale. Avrai fatto altri esercizi simili penso (diagonalizzare una matrice simmetrica trovando una base ortogonale di autovettori).

Che mi pare quello che ho detto io:

Uhm forse ci sono ma vorrei chiedere una conferma, potrebbe essere che il motivo è il seguente: la forma bilineare ottenuta dalla forma quadratica data ha matrice rappresentativa simmetrica => questo induce un endomorfismo simmetrico rispetto al prodotto scalare canonico (avente per matrice rappresentativa, un tale endomorfismo simmetrico, proprio identica matrice di quella associata alla forma quadratica), quindi gli autovettori che ottengo da quella matrice sono rotogonali tra loro rispetto al prodotto canonico standard (per la nota proprietà degli endomorfismi simmetrici rispetto al prodotto su cui li definisco).

Ma non capisco perché Noodles abbia scritto, come per dire che quello che ho detto fosse sbagliato!
A me sembra esattamente quello che dite voi quello che ho detto io.