Domanda di teoria: f singolare
Rileggendo gli appunti ho trovato:
Se $f$ ammette l'autovalore nullo, la $f$ è singolare.
In parole povere, cosa significa che $f$ è singolare?
Se $f$ ammette l'autovalore nullo, la $f$ è singolare.
In parole povere, cosa significa che $f$ è singolare?
Risposte
"clever":
In parole povere, cosa significa che $f$ è singolare?
Innanzitutto chi è [tex]$f$[/tex]? Un'applicazione lineare? Una matrice?
Se [tex]$f$[/tex] è un'applicazione lineare, dire che è singolare credo significhi che non è invertibile.
Il perchè puoi capirlo da solo: se [tex]$f$[/tex] ha l'autovalore nullo, com'è il nucleo di [tex]$f$[/tex]? E come sono caratterizzate le applicazioni lineari invertibili di uno spazio vettoriale finito dimensionale in sé (automorfismi)?
f appartenete ad un endomorfismo
L'endomorfismo è una applicazione lineare.
Si, anche secondo me, perchè il determinante è nullo e non può essere un automorfismo giusto?
L'endomorfismo è una applicazione lineare.
Si, anche secondo me, perchè il determinante è nullo e non può essere un automorfismo giusto?
A parte il determinante, c'è un teorema che ti dice una cosa molto bella, ossia che se lo sp. vett. [tex]$V$[/tex] ha dimensione finita ed [tex]$f \in \text{End}(V)$[/tex] allora:
[tex]$f \text{ è iniettivo} \Leftrightarrow f \text{ è suriettivo} \Leftrightarrow f \text{ è biiettivo}$[/tex].
Ora, se [tex]$\lambda =0$[/tex] è un autovalore di [tex]$f$[/tex], esistono vettori [tex]$x\in V$[/tex] non nulli tali che [tex]$f(x)=0\cdot x=o$[/tex] ([tex]$o\in V$[/tex] è lo zero dello sp. vett.), quindi [tex]$\text{ker} f\neq \{ o\}$[/tex] e perciò [tex]$f$[/tex] non è iniettivo; ne consegue che [tex]$f$[/tex] non è biiettivo (ossia invertibile).
Il consiglio è sempre lo stesso: fai molta attenzione allo studio della teoria; la risoluzione degli esercizi non è un fatto meccanico (a meno di non limitarsi a fare sempre e solo quei due calcoletti che servono per passare lo scritto un po' dappertutto) e richiede una buona, quando non ottima, comprensione della teoria.
[tex]$f \text{ è iniettivo} \Leftrightarrow f \text{ è suriettivo} \Leftrightarrow f \text{ è biiettivo}$[/tex].
Ora, se [tex]$\lambda =0$[/tex] è un autovalore di [tex]$f$[/tex], esistono vettori [tex]$x\in V$[/tex] non nulli tali che [tex]$f(x)=0\cdot x=o$[/tex] ([tex]$o\in V$[/tex] è lo zero dello sp. vett.), quindi [tex]$\text{ker} f\neq \{ o\}$[/tex] e perciò [tex]$f$[/tex] non è iniettivo; ne consegue che [tex]$f$[/tex] non è biiettivo (ossia invertibile).
Il consiglio è sempre lo stesso: fai molta attenzione allo studio della teoria; la risoluzione degli esercizi non è un fatto meccanico (a meno di non limitarsi a fare sempre e solo quei due calcoletti che servono per passare lo scritto un po' dappertutto) e richiede una buona, quando non ottima, comprensione della teoria.
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