Domanda (credo semplice) sui chiusi
Allora, si sa che l'intersezione infinita di chiusi è un chiuso, ma questo non vale necessariamente per l'unione.
Dunque vi chiedo: l'insieme ${(1,n) in RR^2 t.c. n in NN}$ è chiuso in $RR^2$? Ogni singolo punto lo è (perché $RR^2$ è T2 quindi T1), ma l'unione??
Ovviamente sto considerando la topologia euclidea.. Se fosse sì la risposta, allora esiste una topologia su $RR^2$ che fa sì che ogni singolo punto dell'insieme sia chiuso, ma l'insime stesso no?
Grazie per l'aiuto!
Dunque vi chiedo: l'insieme ${(1,n) in RR^2 t.c. n in NN}$ è chiuso in $RR^2$? Ogni singolo punto lo è (perché $RR^2$ è T2 quindi T1), ma l'unione??
Ovviamente sto considerando la topologia euclidea.. Se fosse sì la risposta, allora esiste una topologia su $RR^2$ che fa sì che ogni singolo punto dell'insieme sia chiuso, ma l'insime stesso no?
Grazie per l'aiuto!
Risposte
Certamente, infatti considera il complementare, e verifichi che per ogni suo punto esiste un intorno tutto contenuto in esso, quindi il complementare è aperto 
Per l'ultima parte: sì, pensa ai punti di coordinate razionali, sono un'infinità numerabile, la loro unione non è chiusa perché la chiusura è $RR^2$
Per l'ultima parte: sì, pensa ai punti di coordinate razionali, sono un'infinità numerabile, la loro unione non è chiusa perché la chiusura è $RR^2$
Conosci quindi una topologia per cui non sia chiuso??
Comunque a prescindere da questo, vi pongo un'altra domanda, magari avrò delle risposte più attinenti al mio problema.
Allora, io ho un insieme in $RR^2$ che è dato dall'unione di tutti i segmenti uscenti dall'origine e che arrivano ai punti dell'insieme ${(1,n) in RR^2 t.c. n in NN}$.
Definisco questa topologia:
$A sube$ nell'unione degli intervalli è chiuso $iff$ $A nn $ ogni singolo segmento è chiuso.
Ora vorrei dimostrare che i chiusi di questa topologia non sono equivalenti ai chiusi della topologia (classica) di sottospazio sull'unione dei segmenti.
Ho pensato che per mostrarlo bisognasse considerare un insieme dato dall'unione infinita di chiusi che intersecata con ogni segmento mi dà un chiuso, ma che nella topologia di sottospazio non lo è.
Qualcuno sa aiutarmi?? Grazie
Comunque a prescindere da questo, vi pongo un'altra domanda, magari avrò delle risposte più attinenti al mio problema.
Allora, io ho un insieme in $RR^2$ che è dato dall'unione di tutti i segmenti uscenti dall'origine e che arrivano ai punti dell'insieme ${(1,n) in RR^2 t.c. n in NN}$.
Definisco questa topologia:
$A sube$ nell'unione degli intervalli è chiuso $iff$ $A nn $ ogni singolo segmento è chiuso.
Ora vorrei dimostrare che i chiusi di questa topologia non sono equivalenti ai chiusi della topologia (classica) di sottospazio sull'unione dei segmenti.
Ho pensato che per mostrarlo bisognasse considerare un insieme dato dall'unione infinita di chiusi che intersecata con ogni segmento mi dà un chiuso, ma che nella topologia di sottospazio non lo è.
Qualcuno sa aiutarmi?? Grazie
Non avevo letto la parte finale del messaggio.. ci penso un po'! Grazie ^__^
In realtà i punti con entrambe le coordinate razionali non mi sono d'aiuto.. (almeno credo!)
Potresti aiutarmi con quello che ti ho scritto prima.. non so se sono stata abbastanza chiara, semmai fammi sapere!
Potresti aiutarmi con quello che ti ho scritto prima.. non so se sono stata abbastanza chiara, semmai fammi sapere!
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