Domanda banale su basi
Mi sono accorto svolgendo alcuni esercizi che non mi è del tutto chiaro un fatto che sfrutto.
Mi spiego:
quando ho un insieme definito da equazioni omogenee (aka ho un sistema lineare definente un insieme) trovo da queste lo spazio delle soluzioni (che è sottospazio di $RR^n$). E' abbastanza semplice dimostrare infatti che un tale sistema (definito per caratteristica da equazioni omogenee) E' sottospazio vettoriale.
Detto questo, di solito ci si riduce a valutare il rango della matrice incompleta "A" che ottengo da tale sistema e la base è data dai vettori che avranno per rouché capelli n-rg(A) "parametri liberi" (che poi conicide anche con la dimensione del sottospazio).
Ora, mi accorgo solo dopo qualche esercizio che non sono sicuro di capire perché trovando vettori con $k:=n-rg(A)$ paramentri liberi essi sono SICURAMENTE base del mio sottospazio soluzione di eq. omogenee.
Di fatto dovrei dimostrare che questi k vettori sono sistema di generatori oltre che lienarmente indipendenti per poter proferire: "sono una base", ma non posso provarlo di volta in volta quando trovo di volta in volta tali vettori; quindi deve esserci un motivo generale che mi garantisce questo fatto di essere base (e quindi stimare la dimensione a sua volta)... ma sinceramente mi sfugge.
Il fatto è che né sul libro né tramite lezioni mi pare sia trattata questa cosa, ma solo l'esercitatore ha svolto esercizi a riguardo facendo "operativamente" come ho detto. Deve essere qualcosa di ovvio, ma che per me tanto ovvio non è.
Qualcuno potrebbe gentilmente aiutarmi
[EDIT]: l'unica cosa furba che mi verrebbe in mente è dimostrare che la combinazione lineare con i parametri liberi messi a coefficienti (che di fatto è uno span, da definizione di span) copra tutto lo spazio delle soluzioni del sistema, in sostanza che: Span(vettori che trovo dalla matrice A)=Spazio soluzione del sistema. Ma non ho però idea di come fare.
[EDIT_2]: dovete perdonarmi ma non mi ero accorto di aver postato il logica e algebra (oggi sono cotto), sposto io prima che debba farlo qaulche admin
Mi spiego:
quando ho un insieme definito da equazioni omogenee (aka ho un sistema lineare definente un insieme) trovo da queste lo spazio delle soluzioni (che è sottospazio di $RR^n$). E' abbastanza semplice dimostrare infatti che un tale sistema (definito per caratteristica da equazioni omogenee) E' sottospazio vettoriale.
Detto questo, di solito ci si riduce a valutare il rango della matrice incompleta "A" che ottengo da tale sistema e la base è data dai vettori che avranno per rouché capelli n-rg(A) "parametri liberi" (che poi conicide anche con la dimensione del sottospazio).
Ora, mi accorgo solo dopo qualche esercizio che non sono sicuro di capire perché trovando vettori con $k:=n-rg(A)$ paramentri liberi essi sono SICURAMENTE base del mio sottospazio soluzione di eq. omogenee.
Di fatto dovrei dimostrare che questi k vettori sono sistema di generatori oltre che lienarmente indipendenti per poter proferire: "sono una base", ma non posso provarlo di volta in volta quando trovo di volta in volta tali vettori; quindi deve esserci un motivo generale che mi garantisce questo fatto di essere base (e quindi stimare la dimensione a sua volta)... ma sinceramente mi sfugge.
Il fatto è che né sul libro né tramite lezioni mi pare sia trattata questa cosa, ma solo l'esercitatore ha svolto esercizi a riguardo facendo "operativamente" come ho detto. Deve essere qualcosa di ovvio, ma che per me tanto ovvio non è.
Qualcuno potrebbe gentilmente aiutarmi
[EDIT]: l'unica cosa furba che mi verrebbe in mente è dimostrare che la combinazione lineare con i parametri liberi messi a coefficienti (che di fatto è uno span, da definizione di span) copra tutto lo spazio delle soluzioni del sistema, in sostanza che: Span(vettori che trovo dalla matrice A)=Spazio soluzione del sistema. Ma non ho però idea di come fare.
[EDIT_2]: dovete perdonarmi ma non mi ero accorto di aver postato il logica e algebra (oggi sono cotto), sposto io prima che debba farlo qaulche admin
Risposte
Tu hai un sistema lineare omogeneo: $Ax=0$ e vuoi trovare tutte le sue soluzioni. Vuoi in sostanza trovare $S=$ nucleo di $A$. Dato che $S$ è un sottospazio lineare ti basta trovare una base per $S$. C'è un teorema che dice che la dimensione del nucleo più la dimensione dell'immagine è pari alla dimensione dello spazio (la chiamo $n$). E la dimensione dell'immagine non è altro che il rango di $A$ (lo chiamo $r$). Dunque la dimensione del nucleo è pari a $k=n-r$. Se dunque trovi $k$ vettori linearmente indipendenti nel nucleo hai finito.
Non conoscevo ancora quel teorema e guardando più avanti ho visto che arriverà tra poco tempo.
Non capisco però perché in esercitazione di fatto si usi già, se discende da quello.
Grazie almeno ora mi è chiaro il vero MOTIVO dell'utilizzo.
Non capisco però perché in esercitazione di fatto si usi già, se discende da quello.
Grazie
almeno ora mi è chiaro il vero MOTIVO dell'utilizzo.
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