Domanda banale diagonalizzabilità
Buongiorno a tutti,
stavo facendo un esercizio dove devo discutere la diagonalizzabilita' della seguente matrice:
$ ( ( 1 , 2 , 3 ),( 0 , 1 , 2 ),( -1 , 4 , h ) ) $
adesso io ho svolto il normale procedimento per determinarne gli autovalori con-$lambda$ sulla diagonale ed alla fine ottengo un polinomio caratteristico di questo tipo:
$ -lamda^3+2lambda^2 +lambda^2h-2lambdah+4lambda-9+h $
e raccogliendo rispetto $lambda$ :
$ - lambda ^3 +lambda^2(2+h)-lambda(2h+4)-9+h $
adesso qui mi blocco: come conviene procedere per ricavare gli autovalori in questi casi? Con ruffini non saprei proprio come fare essendo il termine noto parametrico e altre strade al momento non riesco a vederle... mi date almeno qualche input? oppure è proprio sbagliato il metodo per gli autovalori che ho applicato (anche credo sia giusto) , non saprei...
stavo facendo un esercizio dove devo discutere la diagonalizzabilita' della seguente matrice:
$ ( ( 1 , 2 , 3 ),( 0 , 1 , 2 ),( -1 , 4 , h ) ) $
adesso io ho svolto il normale procedimento per determinarne gli autovalori con-$lambda$ sulla diagonale ed alla fine ottengo un polinomio caratteristico di questo tipo:
$ -lamda^3+2lambda^2 +lambda^2h-2lambdah+4lambda-9+h $
e raccogliendo rispetto $lambda$ :
$ - lambda ^3 +lambda^2(2+h)-lambda(2h+4)-9+h $
adesso qui mi blocco: come conviene procedere per ricavare gli autovalori in questi casi? Con ruffini non saprei proprio come fare essendo il termine noto parametrico e altre strade al momento non riesco a vederle... mi date almeno qualche input? oppure è proprio sbagliato il metodo per gli autovalori che ho applicato (anche credo sia giusto) , non saprei...
Risposte
Nessuno mi puo aiutare ragazzi?
a parte un segno sbagliato nel raccoglimento di $lambda$ il polinomio caratteristico mi sembra corretto. anche io però non saprei come scomporlo, sinceramente. la consegna dell'esercizio qual è esattamente? fa parte di un esercizio più ampio?
Tieni presente che una matrice è diagonalizzabile (in $CC $) ogni volta che il polinomio caratteristico non ha radici multiple: con un po' di conti si vede che ciò accade se e solo se $h $ non è radice di un polinomio di terzo grado, quindi restano solo da controllare tre valori particolari (o uno solo se $h $ è un parametro reale): a questo punto mi sembra che i conti diventino veramente lunghi, ma forse c'è qualche scorciatoia che non sto vedendo...
Ripensandoci, la strada meno delirante dovrebbe essere questa (sempre ammesso che tu intenda la diagonalizzabilità in $CC $)...
Si vede facilmente che non si ha l'autovalore $1$ per nessun valore di $h $; ora, se $lambda ne 1$ è un autovalore di $A $, allora $A-lambda I $ ha rango al più $2$, ma in realtà è esattamente $2$ perchè eliminando l'ultima riga e l'ultima colonna si ottiene una matrice invertibile: ne deduciamo che ogni autovalore ha molteplicità geometrica $3-2=1$, e per la diagonalizzabilità è necessario e sufficiente che anche le molteplicità algebriche siano tutte $1$, cioè che il polinomio caratteristico non abbia radici multiple. Resta da capire quali $h $ rispettano quest'ultima condizione, e ci sono più modi per farlo: ad esempio potresti calcolare il discriminante rispetto a $lambda $ (che dovrebbe venire $16h^3-23h^2+358h-283$) e imporre che sia diverso da $0$.
Si vede facilmente che non si ha l'autovalore $1$ per nessun valore di $h $; ora, se $lambda ne 1$ è un autovalore di $A $, allora $A-lambda I $ ha rango al più $2$, ma in realtà è esattamente $2$ perchè eliminando l'ultima riga e l'ultima colonna si ottiene una matrice invertibile: ne deduciamo che ogni autovalore ha molteplicità geometrica $3-2=1$, e per la diagonalizzabilità è necessario e sufficiente che anche le molteplicità algebriche siano tutte $1$, cioè che il polinomio caratteristico non abbia radici multiple. Resta da capire quali $h $ rispettano quest'ultima condizione, e ci sono più modi per farlo: ad esempio potresti calcolare il discriminante rispetto a $lambda $ (che dovrebbe venire $16h^3-23h^2+358h-283$) e imporre che sia diverso da $0$.
Buongiorno ragazzi, allora questo esercizio che vi ho riportato son riuscito a risolverlo (scusate, ho fatto un banalissimo errore di comprensione nella traccia, in realtà' dovevo studiare per quali valori esiste $A^-1$ non mandatemi a quel paese ahah). Ma comunque avevo questo dubbio quando mi trovo davanti ad un esercizio in cui devo studiare la diagonalizzabilita' al variare del parametro... cioè io procedo facendo come vi ho detto precedentemente solo che a volte vengono calcoli enormi in cui mi è facile sbagliare. Quindi non è che si possa procedere in qualche metodo piu' "veloce" o si fa necessariamente cosi'?
Scusatemi e grazie ancora della disponibilità
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Scusatemi e grazie ancora della disponibilità
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se ti chiedono di studiare la diagonizzabilità al al variare del parametro, verosimilmente riuscirai ad esprimere in qualche modo gli autovalori. a quel punto studi i casi in cui la molteplicità algebrica degli autovalori non è 1, quindi per i valori del parametro per cui non succede. per esempio, se arrivassi ad avere un polinomio caratteristico del genere: $p(lambda)=(lambda-3h)(lambda-1)$
per $h =! 1/3$ la matrice è diagonalizzabile perchè hai auovalori che sono tutti di molteplicità algebrica pari ad 1
per $h = 1/3$ l'autovalore 1 ha molteplicità 2 ma a questo punto sostituisci il valore del parametro e procedi come al solito.
poi magari possono esistere anche altre strade come per esempio il teorema spettrale (reale e complesso).
per $h =! 1/3$ la matrice è diagonalizzabile perchè hai auovalori che sono tutti di molteplicità algebrica pari ad 1
per $h = 1/3$ l'autovalore 1 ha molteplicità 2 ma a questo punto sostituisci il valore del parametro e procedi come al solito.
poi magari possono esistere anche altre strade come per esempio il teorema spettrale (reale e complesso).
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