Domanda al volo
Buonasera!
Quanti punti servono per determinare un riferimento nello spazio proiettivo di dimensione $n$?
Grazie.
Quanti punti servono per determinare un riferimento nello spazio proiettivo di dimensione $n$?
Grazie.
Risposte
Se P(E) ha dimensione n, allora E ha dimensione n+1 e quindi servono n+2 vettori di E (ossia punti di P(E)) tali che scelti comunque n+1 di questi essi siano linearmente indipendenti.
"Nikilist":
Se P(E) ha dimensione n, allora E ha dimensione n+1 e quindi servono n+2 vettori di E (ossia punti di P(E)) tali che scelti comunque n+1 di questi essi siano linearmente indipendenti.
Ho capito... Questo perchè n+2 punti di questo genere in $PP^n(V)$ determinano una base di $V^(n+1)$?
Forse accade come nello spazio affine... Un riferimento in $A^3(V)$ è il dato dei vertici d'un qualsiasi tetraedro non degenere... Ovvero 4 punti in posizione generale... E' così???
No, n+2 punti nello spazio proiettivo $P^n(V)$ sono pari in V a n+2 vettori che NON SONO linearmente indipendenti. Il problema viene dal fatto che prendendo solo la base canonica di V nello spazio proiettivo, dato che tutti gli elementi di una classe (e quindi di uno stesso punto) differiscono per la moltiplicazione per una costante le coordinate di quel punto sono le infinite n+1-uple corrispondenti alle coordinate dei vari elementi. Inoltre non vi è nemmeno un modo diverso dalla convenzione per definire una base : prendendo di nuovo i $P_i=[e_i]$ si ha che $2e_i$ è un rappresentante di quella classe valido tanto quanto $e_i$ stesso, quindi una qualunque n+1-upla di numeri reali può essere vista come le coordinate di un punto Q nella base $P_i$.
Per soddisfare tale inconveniente si prendono n+2 vettori (che sono linearmente dipendenti, essendo lo spazio vettoriale associato di dimensione n+1) tali che comunque presi n+1 di questi essi siano LI. Allora si considera uno di questi n+2 vettori come il vettore unità $u=lambda_1*e_1+...+lambda_n*e_n$ e il relativo punto $U=$ e si scelgono i rappresentanti degli altri punti in modo tale da avere che le coordinate in V di u siano il vettore unità $(1,1,...,1)$, ossia scgliendo come rapprsentanti di $P_i$ i vari $lambda_i*e_i$. E non è possibile che $exists i$ tale che $lambda_i=0$ in quanto gli n+1 vettori ottenuti escludendo $lambda_i$ sarebbero linearmente dipendenti, assurdo.
Ad esempio la base canonica di $P(R^(n+1))$ è data da $P_i=[e_i] forall i=1...n$ e dal punto $U==[(1,1,...,1)]$ così da prendere come rappresentanti semplicemente i vettori della base di $R^(n+1)$.
Insomma, il tuo ragionamento ha senso ma comprendendo che sono n+1 punti che sono la base di P(R^(n+1)) e l'n+2-esimo che serve a fissare i rappresentanti degli altri punti.
Per soddisfare tale inconveniente si prendono n+2 vettori (che sono linearmente dipendenti, essendo lo spazio vettoriale associato di dimensione n+1) tali che comunque presi n+1 di questi essi siano LI. Allora si considera uno di questi n+2 vettori come il vettore unità $u=lambda_1*e_1+...+lambda_n*e_n$ e il relativo punto $U=$ e si scelgono i rappresentanti degli altri punti in modo tale da avere che le coordinate in V di u siano il vettore unità $(1,1,...,1)$, ossia scgliendo come rapprsentanti di $P_i$ i vari $lambda_i*e_i$. E non è possibile che $exists i$ tale che $lambda_i=0$ in quanto gli n+1 vettori ottenuti escludendo $lambda_i$ sarebbero linearmente dipendenti, assurdo.
Ad esempio la base canonica di $P(R^(n+1))$ è data da $P_i=[e_i] forall i=1...n$ e dal punto $U==[(1,1,...,1)]$ così da prendere come rappresentanti semplicemente i vettori della base di $R^(n+1)$.
Insomma, il tuo ragionamento ha senso ma comprendendo che sono n+1 punti che sono la base di P(R^(n+1)) e l'n+2-esimo che serve a fissare i rappresentanti degli altri punti.
"Nikilist":
No, n+2 punti nello spazio proiettivo $P^n(V)$ sono pari in V a n+2 vettori che NON SONO linearmente indipendenti. Il problema viene dal fatto che prendendo solo la base canonica di V nello spazio proiettivo, dato che tutti gli elementi di una classe (e quindi di uno stesso punto) differiscono per la moltiplicazione per una costante le coordinate di quel punto sono le infinite n+1-uple corrispondenti alle coordinate dei vari elementi. Inoltre non vi è nemmeno un modo diverso dalla convenzione per definire una base : prendendo di nuovo i $P_i=[e_i]$ si ha che $2e_i$ è un rappresentante di quella classe valido tanto quanto $e_i$ stesso, quindi una qualunque n+1-upla di numeri reali può essere vista come le coordinate di un punto Q nella base $P_i$.
Per soddisfare tale inconveniente si prendono n+2 vettori (che sono linearmente dipendenti, essendo lo spazio vettoriale associato di dimensione n+1) tali che comunque presi n+1 di questi essi siano LI. Allora si considera uno di questi n+2 vettori come il vettore unità $u=lambda_1*e_1+...+lambda_n*e_n$ e il relativo punto $U=$ e si scelgono i rappresentanti degli altri punti in modo tale da avere che le coordinate in V di u siano il vettore unità $(1,1,...,1)$, ossia scgliendo come rapprsentanti di $P_i$ i vari $lambda_i*e_i$. E non è possibile che $exists i$ tale che $lambda_i=0$ in quanto gli n+1 vettori ottenuti escludendo $lambda_i$ sarebbero linearmente dipendenti, assurdo.
Ad esempio la base canonica di $P(R^(n+1))$ è data da $P_i=[e_i] forall i=1...n$ e dal punto $U==[(1,1,...,1)]$ così da prendere come rappresentanti semplicemente i vettori della base di $R^(n+1)$.
Insomma, il tuo ragionamento ha senso ma comprendendo che sono n+1 punti che sono la base di P(R^(n+1)) e l'n+2-esimo che serve a fissare i rappresentanti degli altri punti.
Ho capito! Dunque l'$n+2$ esimo punto è la "somma" dei primi $n+1$... Cioè data una $n+1$ - upla di coordinate omogenee, so che sono riferite esattamente a quei vettori i quali, sommati, danno $U$... E' così?
Diciamo che più che porre l'n+2-esimo vettore come somma dei primi n+1 definisci nel modo che vuoi il vettore u e scegli negli altri punti il rappresentante tale che le coordinate del vettore u nella base data da quei rappresentanti sia il vettore di 1.
Se non ti preoccupi di cambiare base è la stessa cosa che hai detto tu, però differisce nel concetto: definendo la base a partire da u basta modificarlo per ottenere una base diversa sempre però tale che le coordinate di u in quella base siano l'unità.
Ad esempio prendi la base standard. Supponi di voler trasformare u in $(2,1,1,...,1)$. Allora la nuova base ha $P_1=[2e_1]$ e tutti gli altri $P_i$ uguali e in questa nuova base hai di nuovo come desiderato che $_S=(1,1,...,1)$
Se non ti preoccupi di cambiare base è la stessa cosa che hai detto tu, però differisce nel concetto: definendo la base a partire da u basta modificarlo per ottenere una base diversa sempre però tale che le coordinate di u in quella base siano l'unità.
Ad esempio prendi la base standard. Supponi di voler trasformare u in $(2,1,1,...,1)$. Allora la nuova base ha $P_1=[2e_1]$ e tutti gli altri $P_i$ uguali e in questa nuova base hai di nuovo come desiderato che $_S=(1,1,...,1)$
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