Divergenza di campo vettoriale radiale (R3)

[tiz97]

Salve ragazzi,
durante la risoluzione di un problema di matematica applicata, mi sono imbattuto in questo fatto che non mi torna.

In uno spazio descritto da coordinate cilindriche (r, $theta$, z), abbiamo una densità di corrente $S= - a/2 r e_r$, essendo $e_r$ vettore della base, e dobbiamo calcolarne la quantità di sorgenti/pozzi.
Allora, io sono andato sicuro con la divergenza: $\nabla S = dS_r/dr = - a/2 $ che dovrebbe essere la densità di sorgenti.
Nella soluzione del problema invece si usa tranquillamente il teorema di Gauss-Stokes. Considerando un cilindro di raggio R e lunghezza H, si considera il flusso entrante di S nel cilindro: $phi_{} = 2 pi R^2 H S_{(r, theta, z)} = pi R^2 a H = aV$. essendo V il volume del cilindro.
Dunque, conclude, la densità di sorgenti è -a.

Non riesco a capire dove abbia perso il fattore 2.
Qualcuno ha idea di come si possa risolvere questa (apparente) contraddizione?

[apatriarca]

La divergenza in coordinate cilindriche si calcola usando la formula:
\[ \nabla \cdot S = \frac{1}{r} \frac{\partial (r S_r)}{\partial r} + \frac{1}{r} \frac{\partial F_\theta}{\partial \theta} + \frac{\partial F_z}{\partial z} \]
Nel tuo caso hai quindi
\[ \nabla \cdot S = \frac{1}{r}\,\frac{\partial (- a\,r^2 / 2)}{\partial r} = - a \]

[tiz97]

ah ecco, grazie mille