Disuguglianza con la curvatura

[feddy]

Si consideri la curva biregolare $\gamma: [a,b] \rarr RR^3$, parametrizzata rispetto alla lunghezza d'arco, sulla superficie della 2-sfera $\mathbb{S}^2$ di raggio $r>0$.

Mostra che la curvatura $k(s)$ di $\gamma$ è in modulo maggiore o uguale a $1/r$.

Non saprei proprio come approcciarmi all'esercizio. Da quello che ho capito la curva sta proprio sulla superficie della sfera centrata nell'origine. Intuitivamente, il raggio di curvatura della sfera sarà $r$ e so che che la curvatura è data dal rapporto tra $1$ e il raggio di curvatura.
Più che altro non so come usare le ipotesi su $\gamma$, cioè che è parametrizzata rispetto alla lunghezza d'arco, quindi $||dot(\gamma) (s)||=1$ e $k=|| ddot(\gamma)(s)|| $...

qualche indizio?

[Studente Anonimo]

Se si prova esplicitamente:

$\{(x=rcos\phisin\theta),(y=rsin\phisin\theta),(z=rcos\theta):} rarr$

$rarr \{(dotx=-rdot\phisin\phisin\theta+rdot\thetacos\phicos\theta),(doty=rdot\phicos\phisin\theta+rdot\thetasin\phicos\theta),(dotz=-rdot\thetasin\theta):} ^^ [dotx^2+doty^2+dotz^2=r^2dot\phi^2sin^2\theta+r^2dot\theta^2=1] rarr$

$rarr \{(ddotx=-rddot\phisin\phisin\theta-rdot\phi^2cos\phisin\theta-2rdot\phidot\thetasin\phicos\theta+rddot\thetacos\phicos\theta-rdot\theta^2cos\phisin\theta),(ddoty=rddot\phicos\phisin\theta-rdot\phi^2sin\phisin\theta+2rdot\phidot\thetacos\phicos\theta+rddot\thetasin\phicos\theta-rdot\theta^2sin\phisin\theta),(ddotz=-rddot\thetasin\theta-rdot\theta^2cos\theta):}$

è necessario dimostrare che $[ddotx^2+ddoty^2+ddotz^2 gt= 1/r^2]$. Conviene senz'altro procedere come illustrato, nel caso di una generica superficie, nella risorsa sottostante:


Ovviamente, a patto che si stia affrontando anche la teoria delle superfici.