Disuguaglianza triangolare
Quando vale l'uguale nella disuguaglianza triangolare?
$|| X + Y || <= || X || + || Y ||$
Credo di poter affermare che sia quando $X$ e $Y$ sono linearmente dipendenti cioè o $X=lambda Y$ o $Y=lambda X$ con $lambda in RR$.
Non so come dimostrarlo però. Se potete darmi una mano, grazie!
$|| X + Y || <= || X || + || Y ||$
Credo di poter affermare che sia quando $X$ e $Y$ sono linearmente dipendenti cioè o $X=lambda Y$ o $Y=lambda X$ con $lambda in RR$.
Non so come dimostrarlo però. Se potete darmi una mano, grazie!
Risposte
Definiamo la norma di un vettore $A in RR^n$ e la indichiamo con $||A||$ la radice del prodotto scalare canonico del vettore $A$ per se stesso
$||A||=sqrt(A*A)=sqrt(a_1^2+...+a_n^2)$
Siano $X,Y in RR^n$, e $Y=lambda*X$. Quindi $X=(x_1,...,x_n)$ e $Y=(y_1,...,y_n)=lambda*X=lambda*(x_1,...,x_n)=(lambda*x_1,...,lambda*x_n)$
Il vettore $X+Y$ avrà coordinate $(x_1+y_1,...,x_n+y_n)$. La norma del vettore $X+Y$ sarà
$||X+Y||=sqrt((x_1+y_1)^2+...+(x_n+y_n)^2)=sqrt((x_1+lambda*x_1)^2+...+(x_n+lambda*x_n)^2)=sqrt(x_1^2*(lambda + 1)^2+....+x_n^2*(lambda + 1)^2)=(lambda+1)*sqrt(x_1^2+...+x_n^2)=lambda*sqrt(x_1^2+...+x_n^2)+sqrt(x_1^2+...+x_n^2)=sqrt(lambda^2*x_1^2+...+lambda^2*x_n^2) + sqrt(x_1^2+...+x_n^2)= ||Y||+||X||$
Q.E.D
$||A||=sqrt(A*A)=sqrt(a_1^2+...+a_n^2)$
Siano $X,Y in RR^n$, e $Y=lambda*X$. Quindi $X=(x_1,...,x_n)$ e $Y=(y_1,...,y_n)=lambda*X=lambda*(x_1,...,x_n)=(lambda*x_1,...,lambda*x_n)$
Il vettore $X+Y$ avrà coordinate $(x_1+y_1,...,x_n+y_n)$. La norma del vettore $X+Y$ sarà
$||X+Y||=sqrt((x_1+y_1)^2+...+(x_n+y_n)^2)=sqrt((x_1+lambda*x_1)^2+...+(x_n+lambda*x_n)^2)=sqrt(x_1^2*(lambda + 1)^2+....+x_n^2*(lambda + 1)^2)=(lambda+1)*sqrt(x_1^2+...+x_n^2)=lambda*sqrt(x_1^2+...+x_n^2)+sqrt(x_1^2+...+x_n^2)=sqrt(lambda^2*x_1^2+...+lambda^2*x_n^2) + sqrt(x_1^2+...+x_n^2)= ||Y||+||X||$
Q.E.D
Ma è un fatto più generale, strangolatoremancino. Io userei, visto che parliamo di spazi vettoriali reali, il teorema di Carnot:
$||x+y||^2=||x||^2+||y||^2+2||x||||y||cos(theta_{x,y})$, dove $theta_{x, y}$ indica l'angolo convesso determinato da $x, y$. Naturalmente sto supponendo che né $x$ né $y$ siano nulli. Da qui si vede subito che $||x+y||^2=||x||^2+||y||^2+2||x||||y||$ se e solo se $theta_{x, y}=0$, ovvero se e solo se $x, y$ hanno stessa direzione e stesso verso.
Osservazione: E' importante specificare che $x$ e $y$ devono avere lo stesso verso. Altrimenti la conclusione non è vera. Esempio facile: $0=||x-x||<||x||+||x||$, eppure $x, -x$ sono proporzionali.
$||x+y||^2=||x||^2+||y||^2+2||x||||y||cos(theta_{x,y})$, dove $theta_{x, y}$ indica l'angolo convesso determinato da $x, y$. Naturalmente sto supponendo che né $x$ né $y$ siano nulli. Da qui si vede subito che $||x+y||^2=||x||^2+||y||^2+2||x||||y||$ se e solo se $theta_{x, y}=0$, ovvero se e solo se $x, y$ hanno stessa direzione e stesso verso.
Osservazione: E' importante specificare che $x$ e $y$ devono avere lo stesso verso. Altrimenti la conclusione non è vera. Esempio facile: $0=||x-x||<||x||+||x||$, eppure $x, -x$ sono proporzionali.
chiedo venia
come al solito imparo più quando rispondo che quando chiedo
come al solito imparo più quando rispondo che quando chiedo
cosa è l'angolo tra $x$ e $y$ se considero lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali generati dalla base ${1,t,t^2}$ ?
?
@fu^2: mah, applicare la formuletta no...? Sento puzza di fregatura ma non riesco a capire che cosa hai in mente.
@tutti: E' interessante verificare che succede nel caso di spazi vettoriali complessi. Lì non ha più senso parlare di verso, e nemmeno di angolo: difatti non vale più il teorema di Carnot.
Sia allora $V$ uno spazio vettoriale complesso, $\langle,\rangle$ un prodotto scalare (Hermitiano) definito su $V$. Quando è vero che $||x+y||=||x||+||y||$? (naturalmente $||x||=sqrt(\langlex,x\rangle)$).
Osserviamo che non è sufficiente che $x, y$ siano proporzionali: ad esempio $x, ix$ sono proporzionali ma non verificano l'uguaglianza. Io penso sia necessario che $y=lambdax$ e che $lambda$ sia uno scalare reale e non negativo. Che ne pensate?
@tutti: Altra cosa interessante sarebbe verificare che succede se parliamo di norme non derivanti da un prodotto scalare. In quel caso non ho proprio idea di cosa succeda (probabilmente dipende dalla norma).
@tutti: E' interessante verificare che succede nel caso di spazi vettoriali complessi. Lì non ha più senso parlare di verso, e nemmeno di angolo: difatti non vale più il teorema di Carnot.
Sia allora $V$ uno spazio vettoriale complesso, $\langle,\rangle$ un prodotto scalare (Hermitiano) definito su $V$. Quando è vero che $||x+y||=||x||+||y||$? (naturalmente $||x||=sqrt(\langlex,x\rangle)$).
Osserviamo che non è sufficiente che $x, y$ siano proporzionali: ad esempio $x, ix$ sono proporzionali ma non verificano l'uguaglianza. Io penso sia necessario che $y=lambdax$ e che $lambda$ sia uno scalare reale e non negativo. Che ne pensate?
@tutti: Altra cosa interessante sarebbe verificare che succede se parliamo di norme non derivanti da un prodotto scalare. In quel caso non ho proprio idea di cosa succeda (probabilmente dipende dalla norma).
@dissonance: era una cosa detta per dire, uno ha in mente i vettori come belle freccione e quindi vede l'angolo, ma se i vettori sono cose un pò esotiche dire angolo convesso lascia un pò perplessi
Grazie a tutti per avermi risposto!
@dissonance: non è un po' limitativo dover specificare che sia uguale il verso oltre che la direzione, dato che la dipendenza lineare implica solo la stessa direzione? Poi, scusami, ma non ho capito perchè dici che non è generale la dimostrazione di strangolatoremancino, puoi spiegarmelo, please?
@tutti: posso accettare la dimostrazione di strangolatoremancino? A me sembra buona, poi se sbaglio non so...
PS: bella l'idea di mettere la @... (scusate l'ignoranza)
@dissonance: non è un po' limitativo dover specificare che sia uguale il verso oltre che la direzione, dato che la dipendenza lineare implica solo la stessa direzione? Poi, scusami, ma non ho capito perchè dici che non è generale la dimostrazione di strangolatoremancino, puoi spiegarmelo, please?
@tutti: posso accettare la dimostrazione di strangolatoremancino? A me sembra buona, poi se sbaglio non so...
PS: bella l'idea di mettere la @... (scusate l'ignoranza)
La mia dimostrazione vale nel caso specifico dello spazio vettoriale $RR^n$ e del prodotto scalare canonico, mentre in altri spazi vettoriali metrici sul campo reale in cui sono definiti altri tipi di norma e quindi altri prodotti scalari occorre una dimostrazione più generale.
No ragazzi attenzione: la sola dipendenza lineare non è sufficiente! Esempio immediato: prendiamo un vettore $x!=0$ e il vettore $(-1)x$.
$x, (-1)x$ sono linearmente dipendenti ma non vale l'uguaglianza nella disuguaglianza triangolare.
P.S.: E questo è vero in tutti gli spazi a prodotto scalare, tranne quello banale $\langle0\rangle$. @pavola: Se non hai mai visto spazi a prodotto scalare in generale, tutti questi risultati sono tranquillamente veri in $RR^n$ con il dot product a cui si riferisce strangolatoremancino.
$x, (-1)x$ sono linearmente dipendenti ma non vale l'uguaglianza nella disuguaglianza triangolare.
P.S.: E questo è vero in tutti gli spazi a prodotto scalare, tranne quello banale $\langle0\rangle$. @pavola: Se non hai mai visto spazi a prodotto scalare in generale, tutti questi risultati sono tranquillamente veri in $RR^n$ con il dot product a cui si riferisce strangolatoremancino.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo