Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz

[billytalentitalianfan]

Salve!

Quella che sto per porvi è una domanda per me un po' imbarazzante:

perché il discriminante di questa disequazione $ + 2t + t^2 >= 0 $
è $<=0$ ?

Chi mi assicura che $^2 - 4 <=0 $ ?

[cirasa]

"billytalentitalianfan":
Chi mi assicura che $^2 - 4 <=0 $ ?

Ma infatti questa è la tesi, è la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz! (a parte un fattore $4$ nel primo addendo che, penso, ti sei dimenticato)

Si parte dalla disuguaglianza
$ + 2t + t^2 \geq 0$ (*)
che è vera dalla definizione di prodotto scalare (basta osservare che per ogni [tex]t\in\mathbb{R}[/tex] si ha che $0\leq$ e sviluppare il secondo membro).
Quindi visto il polinomio di secondo grado a primo membro di (*) è sempre positivo, il suo discriminante è [tex]\leq 0[/tex]. da cui si ottiene la disuguaglianza cercata.

[billytalentitalianfan]

"cirasa":
Quindi visto il polinomio di secondo grado a primo membro di (*) è sempre positivo, il suo discriminante è [tex]\leq 0[/tex].

Ma perché se il polinomio è sempre positivo, il suo discriminante è minore uguale di zero?

Ad esempio un polinomio $2x^2+17x+1>=0$ pure essendo maggiore-uguale di zero, ha discriminante maggiore di zero! Sbaglio?

[cirasa]

"billytalentitalianfan":Ad esempio un polinomio $2x^2+17x+1>=0$ pure essendo maggiore-uguale di zero, ha discriminante maggiore di zero! Sbaglio?

Sì, sbagli. Il poinomio che tu citi non è sempre positivo. E' strettamente negativo per [tex]\displaystyle \frac{-17-\sqrt{17^2-8}}{4}
Se un polinomio [tex]ax^2+bx+c[/tex] (con [tex]a>0[/tex]) è sempre positivo, significa che la parabola di equazione [tex]y=ax^2+bx+c[/tex] è sempre sopra l'asse $x$ (al più interseca l'asse $x$ in un solo punto) e ciò equivale a dire che [tex]\Delta=b^2-4ac\leq0[/tex].

[billytalentitalianfan]

Se un polinomio è sempre strettamente positivo, allora il suo determinante è necessariamente strettamente negativo; questo l'ho capito (ora).
In un susseguirsi di domande stupide, però, ti chiedo, perché il polinomio $ + 2t + t^2 $ è SEMPRE $>=0$ ?
Che quest'ultima faccia parte delle ipotesi?

[cirasa]

Due precisazioni:

"billytalentitalianfan":Se un polinomio [di secondo grado] è sempre strettamente positivo, allora il suo determinante [*discriminante] è necessariamente strettamente negativo.

Tornando alla tua domanda, per provare la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz si usa la definizione di prodotto scalare [tex]<,>[/tex].
Esso, essendo definito positivo, è tale che per ogni [tex]t\in\mathbb{R}[/tex]
$0\leq$
Poi si usa la bilinearità e si ottiene ciò che ti serve. Prova. Naturalmente se non ti è chiaro qualcosa, chiedi pure

[Needhana]

Quindi allora la disuguaglianza di Cauchy Schwarz dice

$|x*y|<=||x|| ||y||$

Per $y=0$ è banalmente dimostrata, quindi la dimostriamo per $y!=0$. Prendiamo un vettore $x+ty$ $AAt in RR$ e usando le proprietà del prodotto scalare avrò

$0<=||x+ty||^2=(x+ty)^2=(x+ty)*(x+ty)=x*x+x*(ty)+x*(ty)+y*y= ||x||^2+2t(x*y)+t^2||y||^2$ $:= p(t)$

Avrò il polinomio di secondo grado in t $p(t)>=0$ $AA t in RR$, $||y||^2 !=0$ perciò $p(t)$ deve avere necessariamente il $Δ<=0$ perchè se fosse $Δ>0$ avremmo due radici reali e distinte per il quale il polinomio sarebbe negativo o all'interno degli intervalli o all'esterno.

http://web.dmi.unict.it/Public/Uploads/links/disequazioni_fratte.pdf Nel nostro caso il polinomio assumerebbe valore negativo nell 'intervallo interno alle due radici. ( se il discriminate fosse $Δ>=0$ )

Quindi calcolo $ Delta/4$$ = (x*y)^2 - ||x||^2||y||^2<=0$
$(x*y)^2 <= ||x||^2||y||^2$
Tutto sotto radice, e cmd

Mi dite per favore se c'è qualcosa che non quadra? Grazie mille in anticipo

[j18eos]

Io non leggo nulla di strano!

[ludwigZero]

"Needhana":Quindi allora la disuguaglianza di Cauchy Schwarz dice

$|x*y|<=||x|| ||y||$

Per $y=0$ è banalmente dimostrata, quindi la dimostriamo per $y!=0$. Prendiamo un vettore $x+ty$ $AAt in RR$ e usando le proprietà del prodotto scalare avrò

$0<=||x+ty||^2=(x+ty)^2=(x+ty)*(x+ty)=x*x+x*(ty)+x*(ty)+y*y= ||x||^2+2t(x*y)+t^2||y||^2$ $:= p(t)$

Avrò il polinomio di secondo grado in t $p(t)>=0$ $AA t in RR$, $||y||^2 !=0$ perciò $p(t)$ deve avere necessariamente il $Δ<=0$ perchè se fosse $Δ>0$ avremmo due radici reali e distinte per il quale il polinomio sarebbe negativo o all'interno degli intervalli o all'esterno.

http://web.dmi.unict.it/Public/Uploads/links/disequazioni_fratte.pdf Nel nostro caso il polinomio assumerebbe valore negativo nell 'intervallo interno alle due radici. ( se il discriminate fosse $Δ>=0$ )

Quindi calcolo $ Delta/4$$ = (x*y)^2 - ||x||^2||y||^2<=0$
$(x*y)^2 <= ||x||^2||y||^2$
Tutto sotto radice, e cmd

Mi dite per favore se c'è qualcosa che non quadra? Grazie mille in anticipo

Chiamatemi stupido, ma non riesco a capire perchè il segno del discriminante è lo stesso di a? Perchè viene un numero negativo?