Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz
Ciao 
Ho una domanda stupida che però mi lascia pensare sulla dimostrazione del teorema
il professore scrive:
$0<=||vecx+lambda vecy||^2=||vecx||^2+2lambdavecx*vecy+lambda^2||vecy||^2$
ove l'ultimo polinomio è di secondo grado in lambda.
E dice: "tale polinomio deve essere sempre $>=0$ quindi deve avere al massimo una radice (e non posso averne due)".
Ma ora qui il dubbio: graficamente è una parabola che tocca l'ascissa la soluzione, secondo il prof., e qui non mi ci ritrovo, perché quando risolvo una $ax^2+bx+c>=0$ solitamente grafico una parabola e se il vertice è nel 4 quadrante io prendo le soluzioni sopra i DUE punti di intersezione perché quei valori mi garantiscono positività del polinomio. Quello che voglio dire è che io sto cercando proprio le soluzioni e potrebbero essere due, proprio per garantire che il polinomio sia $>=$ a zero, ma potrebbe essere 1.
Invece qui dice che è SEMPRE 1, non sono convinto di aver capito il perché
Ho una domanda stupida che però mi lascia pensare sulla dimostrazione del teorema
il professore scrive:
$0<=||vecx+lambda vecy||^2=||vecx||^2+2lambdavecx*vecy+lambda^2||vecy||^2$
ove l'ultimo polinomio è di secondo grado in lambda.
E dice: "tale polinomio deve essere sempre $>=0$ quindi deve avere al massimo una radice (e non posso averne due)".
Ma ora qui il dubbio: graficamente è una parabola che tocca l'ascissa la soluzione, secondo il prof., e qui non mi ci ritrovo, perché quando risolvo una $ax^2+bx+c>=0$ solitamente grafico una parabola e se il vertice è nel 4 quadrante io prendo le soluzioni sopra i DUE punti di intersezione perché quei valori mi garantiscono positività del polinomio. Quello che voglio dire è che io sto cercando proprio le soluzioni e potrebbero essere due, proprio per garantire che il polinomio sia $>=$ a zero, ma potrebbe essere 1.
Invece qui dice che è SEMPRE 1, non sono convinto di aver capito il perché
Risposte
Si, d'accordo, una parabola in generale puo' avere anche due intersezioni con l'asse $x$, ma da quella espressione viene fuori una famiglia di parabole che e' speciale e si possono verificare 2 casi:
- la parabola e' sempre positiva, cioe' sta sempre sopra l'asse $x$ e quindi non ci sono soluzioni.
- la parabola tocca l'asse $x$ in un punto solo e quindi c'e' solo una soluzione.
Il perche' si verifica questo fatto e' proprio la dimostrazione del teorema.
- la parabola e' sempre positiva, cioe' sta sempre sopra l'asse $x$ e quindi non ci sono soluzioni.
- la parabola tocca l'asse $x$ in un punto solo e quindi c'e' solo una soluzione.
Il perche' si verifica questo fatto e' proprio la dimostrazione del teorema.
Riprendendo le tue notazioni:
\[
\forall\lambda\in\mathbb{R},\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\in(\mathbb{V},\|\cdot\|),\,0\leq\left\|\overrightarrow{x}+\lambda\overrightarrow{y}\right\|=\left\|\overrightarrow{x}\right\|+2\lambda\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{y}+\lambda^2\left\|\overrightarrow{y}\right\|
\]
la diseguaglianza deve valere per ogni coppia di vettori, da cui segue che i coefficienti della disequazione nella variabile \(\lambda\) non possono essere "liberi".
Tutto comprensibile sin qui?
\[
\forall\lambda\in\mathbb{R},\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\in(\mathbb{V},\|\cdot\|),\,0\leq\left\|\overrightarrow{x}+\lambda\overrightarrow{y}\right\|=\left\|\overrightarrow{x}\right\|+2\lambda\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{y}+\lambda^2\left\|\overrightarrow{y}\right\|
\]
la diseguaglianza deve valere per ogni coppia di vettori, da cui segue che i coefficienti della disequazione nella variabile \(\lambda\) non possono essere "liberi".
Tutto comprensibile sin qui?
Vi ringrazio.
In effetti non consideravo che non sono a,b,c liberi classici in tal caso
Però non mi resta così ovvia la scelta che $Delta<=0$. Cioè come dite voi non sono liberi, quindi avrò delle peraboli "speciali", ma non riesco a vedere da cosa discenta che la soluzione è sicuramente una o zero.
la diseguaglianza deve valere per ogni coppia di vettori, da cui segue che i coefficienti della disequazione nella variabile λ non possono essere "liberi".
In effetti non consideravo che non sono a,b,c liberi classici in tal caso
Però non mi resta così ovvia la scelta che $Delta<=0$. Cioè come dite voi non sono liberi, quindi avrò delle peraboli "speciali", ma non riesco a vedere da cosa discenta che la soluzione è sicuramente una o zero.
Questo e' un numero elevato al quadrato:
$ ||vecx+lambda vecy||^2$
quindi e' sempre positivo o talvolta zero (in un caso particolare).
Quindi al variare di $\lambda$ la parabola e' sempre sopra all'asse orizzontale delle $\lambda$.
Se la radice e' l'intersezione della parabola con l'asse $\lambda$ e la parabola non interseca quasi mai (tranne un caso particolare) l'asse, come fa ad avere 2 radici ?
Non puo', giusto ?
$ ||vecx+lambda vecy||^2$
quindi e' sempre positivo o talvolta zero (in un caso particolare).
Quindi al variare di $\lambda$ la parabola e' sempre sopra all'asse orizzontale delle $\lambda$.
Se la radice e' l'intersezione della parabola con l'asse $\lambda$ e la parabola non interseca quasi mai (tranne un caso particolare) l'asse, come fa ad avere 2 radici ?
Non puo', giusto ?
Grazie.
Quindi capisco che c'è qualcosa che non funziona nel mio ragionamento, io la vedevo così: io so che $||x⃗ +λy⃗ ||^2$ è sicuramente maggiore o uguale a zero. Da questa espressione sviluppandola trovo un polinomio in lambda che deve essere maggiore uguale a zero. Però questo non mi sembrava voler dire che la parabola è sempre maggiore o uguale a zero per ogni lambda, mi sembrava piuttosto che, nei pezzi in cui la parabola è sotto l'asse delle x non andasse bene in quanto dà valori negativi (e non risolverebbero la disug. voluta), e quindi prendo solo quelli sopra le x.
Non credo di afferrare però perché questo sia errato, infatti a me basta considerare quando per certi lambra risolvo polinomi $>=$0
Però vorrei capire in che punto soggiace la fallacia del mio ragionamento, solo così posso dire di aver capito
Quindi capisco che c'è qualcosa che non funziona nel mio ragionamento, io la vedevo così: io so che $||x⃗ +λy⃗ ||^2$ è sicuramente maggiore o uguale a zero. Da questa espressione sviluppandola trovo un polinomio in lambda che deve essere maggiore uguale a zero. Però questo non mi sembrava voler dire che la parabola è sempre maggiore o uguale a zero per ogni lambda, mi sembrava piuttosto che, nei pezzi in cui la parabola è sotto l'asse delle x non andasse bene in quanto dà valori negativi (e non risolverebbero la disug. voluta), e quindi prendo solo quelli sopra le x.
Non credo di afferrare però perché questo sia errato, infatti a me basta considerare quando per certi lambra risolvo polinomi $>=$0
Però vorrei capire in che punto soggiace la fallacia del mio ragionamento, solo così posso dire di aver capito
"nicutra":
Grazie.
Quindi capisco che c'è qualcosa che non funziona nel mio ragionamento, io la vedevo così: io so che $||x⃗ +λy⃗ ||^2$ è sicuramente maggiore o uguale a zero. Da questa espressione sviluppandola trovo un polinomio in lambda che deve essere maggiore uguale a zero. Però questo non mi sembrava voler dire che la parabola è sempre maggiore o uguale a zero per ogni lambda, mi sembrava piuttosto che, nei pezzi in cui la parabola è sotto l'asse delle x non andasse bene in quanto dà valori negativi (e non risolverebbero la disug. voluta), e quindi prendo solo quelli sopra le x.
Non credo di afferrare però perché questo sia errato, infatti a me basta considerare quando per certi lambra risolvo polinomi $>=$0
Però vorrei capire in che punto soggiace la fallacia del mio ragionamento, solo così posso dire di aver capito
Non c'e' problema, siamo qui per questo.
Io pero' faccio fatica a capire dov'e' il punto che non capisci.
Ad es.
mi sembrava piuttosto che, nei pezzi in cui la parabola è sotto l'asse delle x non andasse bene in quanto dà valori negativi
Quello che avevo gia' scritto, (ma non e' un problema, lo ripetiamo finche' serve) e' che quella famiglia di parabole e' speciale, ed e' fatta solo di parabole che non vanno mai sotto l'asse orizzontale (quello delle $\lambda$).
Io credo che la tua domanda sia:
come si fa a vedere che $ ||vecx||^2+2lambdavecx*vecy+lambda^2||vecy||^2 $ produce delle parabole che non vanno mai sotto l'asse orizzontale ?
E' cosi' ? E' questa la tua domanda ?
Aspettando la tua risposta, provo ad andare avanti perche' ad occhio il tuo dubbio e' quello.
Abbiamo $ ||vecx||^2+2lambdavecx*vecy+lambda^2||vecy||^2 $
Il prodotto vettoriale $vecx*vecy$ si puo' esprimere cosi':
$vecx*vecy = ||\vec x||||\vec y|| cos \theta$,
dove $\theta$ e' l'angolo tra i due vettori.
Quindi riscriviamo
$ ||vecx||^2+2lambda ||\vec x||||\vec y|| cos \theta+lambda^2||vecy||^2 $
Adesso calcoliamo il discriminante $\Delta$ della parabola.
Sai che se $\Delta < 0$ la parabola non ha intersezioni con l'asse orizzontale.
$\Delta = {( ||\vec x||\ ||\vec y|| cos\theta)^2 - ||\vec x||^2||\vec y||^2} = ||\vec x||^2\ ||\vec y||^2 {( cos\theta)^2 - 1} $
Adesso, siccome sai che il $(cos \theta)^2$ e' al massimo uguale a $1$, abbiamo che tutta l'espressione e' negativa per la maggior parte dei casi.
L'unica eccezione e' quando $(cos \theta)^2 = 1$ ovvero quando i due vettori sono paralleli.
Cosi' e' piu' chiaro ?
Abbiamo $ ||vecx||^2+2lambdavecx*vecy+lambda^2||vecy||^2 $
Il prodotto vettoriale $vecx*vecy$ si puo' esprimere cosi':
$vecx*vecy = ||\vec x||||\vec y|| cos \theta$,
dove $\theta$ e' l'angolo tra i due vettori.
Quindi riscriviamo
$ ||vecx||^2+2lambda ||\vec x||||\vec y|| cos \theta+lambda^2||vecy||^2 $
Adesso calcoliamo il discriminante $\Delta$ della parabola.
Sai che se $\Delta < 0$ la parabola non ha intersezioni con l'asse orizzontale.
$\Delta = {( ||\vec x||\ ||\vec y|| cos\theta)^2 - ||\vec x||^2||\vec y||^2} = ||\vec x||^2\ ||\vec y||^2 {( cos\theta)^2 - 1} $
Adesso, siccome sai che il $(cos \theta)^2$ e' al massimo uguale a $1$, abbiamo che tutta l'espressione e' negativa per la maggior parte dei casi.
L'unica eccezione e' quando $(cos \theta)^2 = 1$ ovvero quando i due vettori sono paralleli.
Cosi' e' piu' chiaro ?
Ok il prosieguo mi sembra più chiaro, il dubbio sorgeva perché il prof sembrava "imporre" la condizione di determinante minore uguale a zero, infatti scriveva:
$0<=||vecx+lambda vecy||^2=||vecx||^2+2lambdavecx*vecy+lambda^2||vecy||^2$
poi diceva: siccome è polinomio di secondo grado che deve sempre essere maggiore uguale a zero, allora il delta è $Delta<=0$ (e io qui mi dicevo (vedi sotto asterischi) un polinomio di secondo grado in generale mica è vero che se imposto $>=0$ abbia associato un delta $<=0$!!)
Da cui: $(2 vecx * vecy)^2-4||vecy||^2*||vecx^2||$ si ricava $(vecx* vecy)<=||vecx||^2*||vecy||^2$
Quindi mi pareva una imposizione cercare solo i delta che avessero quella caratteristica, per via del fatto che fosse un polinomio cercato positivo o nullo, dal tuo ultimo messaggio invece capisco che è intrinseco nel polinomio in studio questa caratteristica di avere il delta siffato, non è una imposizione.
*************
Se quanto sopra è giusto, mi resta però da capire solo una cosa, tu dicevi che la consizione che le parabole sono sempre positive si nota già dal fatto che (prendiamo un caso generale) $0<=|x+lambday|^2$, ed io è qui che invece mi incaglio, perché non riesco a vederlo così immediatamente.
Da quanto scritto avrei: $0<=|x+lambday|^2$ => $lambda^2y^2+2lambdaxy+x^2>=0$ (polinomio in lambda)
[oss: il fatto che sia polinomio >=0 (che deriva dalla consizione di modulo iniziale, non vuole dire però che la parabola sia sempre positiva (come invece mi pareva di capire che volessi dirmi)]
In realtà: io devo cercare le soluzioni per cui questo polinomio rispetta la condizione di $>=$, e quelle condizioni sono quelle per cui la parabola in lambda ha valori positivi. Ma questo non vuol dire che sia sempre positiva la parabola, vuol solo dire che non accetto i valori negativi di essa.
Non so se è più chiaro il dubbio così.
$0<=||vecx+lambda vecy||^2=||vecx||^2+2lambdavecx*vecy+lambda^2||vecy||^2$
poi diceva: siccome è polinomio di secondo grado che deve sempre essere maggiore uguale a zero, allora il delta è $Delta<=0$ (e io qui mi dicevo (vedi sotto asterischi) un polinomio di secondo grado in generale mica è vero che se imposto $>=0$ abbia associato un delta $<=0$!!)
Da cui: $(2 vecx * vecy)^2-4||vecy||^2*||vecx^2||$ si ricava $(vecx* vecy)<=||vecx||^2*||vecy||^2$
Quindi mi pareva una imposizione cercare solo i delta che avessero quella caratteristica, per via del fatto che fosse un polinomio cercato positivo o nullo, dal tuo ultimo messaggio invece capisco che è intrinseco nel polinomio in studio questa caratteristica di avere il delta siffato, non è una imposizione.
*************
Se quanto sopra è giusto, mi resta però da capire solo una cosa, tu dicevi che la consizione che le parabole sono sempre positive si nota già dal fatto che (prendiamo un caso generale) $0<=|x+lambday|^2$, ed io è qui che invece mi incaglio, perché non riesco a vederlo così immediatamente.
Da quanto scritto avrei: $0<=|x+lambday|^2$ => $lambda^2y^2+2lambdaxy+x^2>=0$ (polinomio in lambda)
[oss: il fatto che sia polinomio >=0 (che deriva dalla consizione di modulo iniziale, non vuole dire però che la parabola sia sempre positiva (come invece mi pareva di capire che volessi dirmi)]
Quindi al variare di λ la parabola e' sempre sopra all'asse orizzontale delle λ.
In realtà: io devo cercare le soluzioni per cui questo polinomio rispetta la condizione di $>=$, e quelle condizioni sono quelle per cui la parabola in lambda ha valori positivi. Ma questo non vuol dire che sia sempre positiva la parabola, vuol solo dire che non accetto i valori negativi di essa.
Non so se è più chiaro il dubbio così.
invece capisco che è intrinseco nel polinomio in studio questa caratteristica di avere il delta siffato, non è una imposizione.
Si esatto. Non e' un'imposizione, e' una conseguenza, e' inevitabile che sia cosi.
$ 0<=|x+lambday|^2 $ ed io è qui che invece mi incaglio, perché non riesco a vederlo così immediatamente.
Mi sembra che ti stai perdendo in un bicchier d'acqua.
Il modulo di un vettore e' sempre un numero positivo, (se il vettore e' nullo, allora il modulo e' zero).
E anche se per qualche motivo strano, il modulo potesse essere anche negativo, poi lo elevi al quadrato, e qualsiasi numero elevato al quadrato e' positivo (o nullo).
Magari non ti sembra intuitivo, ma fidandosi della matematica, non puo' essere altrimenti.
Lasciando perdere per un attimo i vettori, che forse creano piu' confusione che altro, torniamo agli scalari.
Se scrivo $y = |x+x_0|^2$, sei convinto e sicuro che quelle parabole sono sopra all'asse $x$ (tranne nel vertice)?
Se scrivo questa cosa:
$y = |x+x_0|^2$
sono tutte parabole che stanno sopra all'asse $x$ tranne il vertice,
invece con i vettori sono piu' libero e posso creare anche delle parabole che stanno sopra all'asse $x$ senza toccarlo mai.
Ma il concetto alla base e' molto simile.
Mi sa che in effetti non ci avevo mai pensato a dovere.
Non so perché ma quando assumevo: $y=|x+x_0|^2$ mi immaginavo di ottenere sviluppando sempre qualcosa tipo $y=ax^2+by+c$ e dicevo beh variando b e c è ovvio che posso finire sotto alle ascisse, io quindi cerco quelle sopra.
Di fatto però risolvendo $y=|x+x_0|^2$ (con $x_0$ mettiamo negativo o nullo) trovo sempre $y=ax^2+by+c$ ma con il $b$ di $by$ che ha condizione di essere $|b|<=|c|=c$, insomma il c mi trasla sempre in alto la parabola più di quanto la trasli in basso b (dovuto all'$x_0$ anche minore di zero).
Mi sembra essere sostanzialmente così che vanno le cose, sbaglio?
Non mi ero mai posto molte domande in merito, mi sento stupido
Non so perché ma quando assumevo: $y=|x+x_0|^2$ mi immaginavo di ottenere sviluppando sempre qualcosa tipo $y=ax^2+by+c$ e dicevo beh variando b e c è ovvio che posso finire sotto alle ascisse, io quindi cerco quelle sopra.
Di fatto però risolvendo $y=|x+x_0|^2$ (con $x_0$ mettiamo negativo o nullo) trovo sempre $y=ax^2+by+c$ ma con il $b$ di $by$ che ha condizione di essere $|b|<=|c|=c$, insomma il c mi trasla sempre in alto la parabola più di quanto la trasli in basso b (dovuto all'$x_0$ anche minore di zero).
Mi sembra essere sostanzialmente così che vanno le cose, sbaglio?
Non mi ero mai posto molte domande in merito, mi sento stupido
"nicutra":
Mi sa che in effetti non ci avevo mai pensato a dovere.
Non so perché ma quando assumevo: $y=|x+x_0|^2$ mi immaginavo di ottenere sviluppando sempre qualcosa tipo $y=ax^2+by+c$ e dicevo beh variando b e c è ovvio che posso finire sotto alle ascisse, io quindi cerco quelle sopra.
Di fatto però risolvendo $y=|x+x_0|^2$ (con $x_0$ mettiamo negativo o nullo) trovo sempre $y=ax^2+by+c$ ma con il $b$ di $by$ che ha condizione di essere $|b|<=|c|=c$, insomma il c mi trasla sempre in alto la parabola più di quanto la trasli in basso b (dovuto all'$x_0$ anche minore di zero).
Mi sembra essere sostanzialmente così che vanno le cose, sbaglio?
Non mi ero mai posto molte domande in merito, mi sento stupido
Albert Einstein diceva: "Non preoccuparti delle tue difficoltà in matematica; posso assicurarti che le mie sono ancora maggiori! "
Quindi sei in buona compagnia.
Io capisco il tuo ragionamento, ma non e' la condizione di essere $|b|<=|c|=c$. Se ci pensi bene ci sono alcune di quelle parabole per cui non e' vero che $|b|<=|c|=c$. Non e' difficile trovarle.
Quello che devi guardare e' il discriminante.
No beh certo in realtà ve ne sono altre come mi fai notare, più che altro volevo dire che l'elevamento al quadrato in qualche modo mi sembra garantire che l'idea che avevo io in cui b poteva traslare la parabola sotto le ascisse (per esempio quando $x_0<0$ in $|x+x_0|^2$) non sussiste perché c compensa la traslazione in alto quando ciò accade.
Poi non volevo dire che tutte le parabole erano così o che racchiudesse tutti i casi, volevo solo dire che la mia idea non poteva verificarsi in quella specifica situazione per quel motivo.
Non so se sto dicendo ancora fesserie o ora ho chiarito il punto.
(ammetto però che non so come rendere meglio questa idea, meglio di quanto ho detto diciamo)
Certamente, poi, la condizione generale che racchiude tutti i casi è il delta minore o uguale a zero, quello è chiaro!
Poi non volevo dire che tutte le parabole erano così o che racchiudesse tutti i casi, volevo solo dire che la mia idea non poteva verificarsi in quella specifica situazione per quel motivo.
Non so se sto dicendo ancora fesserie o ora ho chiarito il punto.
(ammetto però che non so come rendere meglio questa idea, meglio di quanto ho detto diciamo
)Certamente, poi, la condizione generale che racchiude tutti i casi è il delta minore o uguale a zero, quello è chiaro!
Sperando che il dilemma sia stato risolto, devo segnalare due errori:
(e posso perdonare); ma ci terrei a specificare che il concetto di angolo di vettori è conseguenza della diseguaglianza di Cauchy-Schwarz, da cui poi segue quella definizione di prodotto scalare!
"Quinzio":Questo è il prodotto scalare
[...] Il prodotto vettoriale $vecx*vecy$ si puo' esprimere cosi':
$vecx*vecy = ||\vec x||||\vec y|| cos \theta$,
dove $\theta$ e' l'angolo tra i due vettori. [...]
(e posso perdonare); ma ci terrei a specificare che il concetto di angolo di vettori è conseguenza della diseguaglianza di Cauchy-Schwarz, da cui poi segue quella definizione di prodotto scalare!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo