Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz
Ciao, ho un problema con la dimostrazione della disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. A lezione abbiamo fatto la dimostrazione algebrica, partendo dall'ipotesi:
$AA$ v,w $in$ $RR^3$ , con v,w $!=$ (0,0,0), t $in$ $RR$, v+tw $in$ $RR^3$.
Successivamente, utilizzando le proprietà del prodotto scalare, abbiamo ottenuto un polinomio positivo il che implica che il determinante $<=$ 0. Ma non capisco perché il determinante dev'essere $<=$ 0.
Secondo me, ci potrebbero essere degli errori nell'ipotesi, con i vettori v,w e lo scalare t che dovrebbero appartenere al campo complesso.
Spero che qualcuno mi illumini.
$AA$ v,w $in$ $RR^3$ , con v,w $!=$ (0,0,0), t $in$ $RR$, v+tw $in$ $RR^3$.
Successivamente, utilizzando le proprietà del prodotto scalare, abbiamo ottenuto un polinomio positivo il che implica che il determinante $<=$ 0. Ma non capisco perché il determinante dev'essere $<=$ 0.
Secondo me, ci potrebbero essere degli errori nell'ipotesi, con i vettori v,w e lo scalare t che dovrebbero appartenere al campo complesso.
Spero che qualcuno mi illumini.
Risposte
Hai scritto tu che \(v, w\in\mathbb R^3\) e \(t\in\mathbb R\), quindi i numeri complessi non possono entrare da nessuna parte. Stai tranquillo, è tutto corretto.
"dissonance":
Hai scritto tu che \(v, w\in\mathbb R^3\) e \(t\in\mathbb R\), quindi i numeri complessi non possono entrare da nessuna parte. Stai tranquillo, è tutto corretto.
Allora perché il determinante dev'essere $<=$ 0?
è una dimostrazione che mi piace pochissimo quella, comunque: non è che 'DEVE' essere così, si deduce
$(w+tv)*(w+tv)$ essendo in un prodotto scalare è una quantità sempre positiva(il prodotto scalare è definito positivo), considerando anche che i vettori nel prodotto sono gli stessi per ogni $t$
è chiaro che la funzione che associa $t|->||w+tv||^2$ fissati $w,v$ definisce una parabola che deve essere sempre positiva o nulla per quanto visto e questo è vero se e solo se il delta è negativo o nullo.
Da questo si deduce che debba essere
da cui deve essere $|v*w|leq||v||*||w||$
$(w+tv)*(w+tv)$ essendo in un prodotto scalare è una quantità sempre positiva(il prodotto scalare è definito positivo), considerando anche che i vettori nel prodotto sono gli stessi per ogni $t$
$(w+tv)*(w+tv)=||w+tv||^2$
$||w+tv||^2=(w*w)+2t(v*w)+t^2(v*v)$
$||w+tv||^2=(w*w)+2t(v*w)+t^2(v*v)$
è chiaro che la funzione che associa $t|->||w+tv||^2$ fissati $w,v$ definisce una parabola che deve essere sempre positiva o nulla per quanto visto e questo è vero se e solo se il delta è negativo o nullo.
Da questo si deduce che debba essere
$Deltaleq0 => Delta=4(v*w)^2-4||v||^2*||w||^2$
da cui deve essere $|v*w|leq||v||*||w||$
Il *discriminante*, non il determinante. Sicuramente hai studiato le equazioni di secondo grado, con il "delta" che è negativo se e solo se non ci sono soluzioni reali. Quel delta è il discriminante.
Ps : ho scritto contemporaneamente a Anto. A me quella dimostrazione piace parecchio, invece
Ps : ho scritto contemporaneamente a Anto. A me quella dimostrazione piace parecchio, invece
Ora ho capito... Grazie mille Anto, sei stato chiarissimo!! Scusate per il discriminante, ho sbagliato a scrivere.
@dissonance
@anto: Tu lo conosci questo libro?
http://www-stat.wharton.upenn.edu/~stee ... index.html
A me non dispiace, ma ti sconsiglio di perderci molto tempo, è da leggiucchiare più che altro per curiosità.
http://www-stat.wharton.upenn.edu/~stee ... index.html
A me non dispiace, ma ti sconsiglio di perderci molto tempo, è da leggiucchiare più che altro per curiosità.
No non lo conoscevo, ora lo sc...ompro 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo