Distribuzioni uno dimensionali e campi vettoriali non nulli
Salve a tutti.
Il mio problema riguarda il seguente teorema:
Proposizione: Sia $M$ una varieta differenziabile di classe $C^{\infty}$
e dimensione $n$. Allora sono equivalenti
$(1)$ esiste una distribuzione $D:M\to TM$ di dimensione 1.
$(2)$ esiste un campo vettoriale $X\in\mathfrak{X}(M)$ non nullo
in ogni punto ( ossia esiste $X$ sezione differenziabile di $TM$
tale che per ogni $p\in M$ risulta $X(p)\ne0$ (dove lo $0$ è quello
di $T_{p}M$ )).
Premetto alcune definizioni per evitare equivoci.
Definizione
Sia $M$ una varieta differenziabile di classe $C^{\infty}$ e dimensione
$n$. Denotiamo con $\mathfrak{X}(M)$ l'insieme definito da: $X\in\mathfrak{X}(M)$
$\Leftrightarrow$ $X:M\to TM$ sezione differenziabile.
Definizione
Sia $M$ una varieta differenziabile di classe $C^{\infty}$ e dimensione
$n$. Una "distribuzione $d$-dimensionale'' è un applicazione
$D:M\to2^{TM}$ tale che $\forall p\in M$ risulta che $D_{p}$ è
un sottospazio vettoriale di $T_{p}M$ di dimensione $d$. La distribuzione
si dice $C^{\infty}$ se $\forall p\in M$ $\exists V_{p}$ intorno aperto
di $p$ ed esistono $X_{1}^{p}$,...,$X_{d}^{p}\in\mathfrak{X}(V_{p})$
tali che $\forall q\in V_{p}$ risulta $D_{q}=$
Cio premesso, notiamo che l'esistenza di una distribuzione di dimensione
$0$ oppure $n$ è banale. Non è così per le distribuzioni di dimensione
compresa tra $1$ e $n-1$.
Ma torniamo al teorema. L'implicazioen $(2)\Rightarrow(1)$ è facile.
Il problema è l'implicazione $(1)\Rightarrow(2)$.
Premetto che la dimostrazione che ha fatto la mia Prof. contiene egli
errori. Ho provato, per quanto ho potuto, a seguirne la strada, ma
ad un certo punto mi sono bloccato. Ma ora procedo con il mio tentativo
per illustrarvi i punti che mi sono oscuri.
Dimostrazione
Per ipotesi sappiamo che $\forall p\in M$ $\exists V_{p}$ intorno
aperto di $p$ ed esiste $Y^{p}\in\mathfrak{X}(V_{p})$ tale che $\forall q\in V_{p}$
risulta $D_{q}=$. Quindi $(V_{p})_{p\in M}$ è un ricoprimento
aperto di $M$ e pertanto esiste una $(f_{p})_{p\in M}$ partizione
dell'unita subordinata a tale ricoprimento (subordinata significa
che $\Supp(f_{p}) \subset V_{p}$ per ogni $p$).
Definiamo $\forall p\in M$ $X^{p}:=f_{p} \cdot Y^{p}$.
Allora $\forall p\in M$ $X_{p}\in\mathfrak{X}(V_{p})$ ed inoltre
$X^{p}(q)=0$ per ogni $q\in V_{p}-Supp(f_{p})$. Quindi possiamo
prolungare le $X^{p}$ a tutto $M$ ponendo $\forall p\in M$ $\forall q\in M$
$Z^{p}(q):=X^{p}(q)$ se $q\in V_{p}$
$Z^{p}(q):=0$ se $q\in C(Supp(f_{p}))$
Segue che le $Z^{p}\in\mathfrak{X}(M)$.
Definiamo infine $X:M\to TM$ tale che $\forall p\in M$ $X(p):=\sum_{q\in M}Z^{q}(p)$.
Per ogni $p$, la somma precedente, risulta essere finita.
Il problema ora è questo: come faccio a dimostrare che $\forall p\in M$
risulta $X(p)\ne0_{T_{p}M}$?
Dal punto di vista "delle idee", posso dire che ho usato una costruzione molto simile nel teorema in cui dimostro che una funzione differenziabile su un chiuso è sempre prolungabile ad una funzione differenziabile su tutta la varietà. Solo che in quel caso potevo far "uscire" dalla sommatoria le funzioni che in questa dimostrazione sarebbero le $Y^q(p)$
Voglio precisare che NON so assolutamente se questa dimostrazione
(o idea) è corretta. Sto semplicemente seguendo la traccia della dimostrazione
(sbagliata) che ha fatto la prof. in classe.
Grazie a tutti coloro che vorranno aiutarmi.
Il mio problema riguarda il seguente teorema:
Proposizione: Sia $M$ una varieta differenziabile di classe $C^{\infty}$
e dimensione $n$. Allora sono equivalenti
$(1)$ esiste una distribuzione $D:M\to TM$ di dimensione 1.
$(2)$ esiste un campo vettoriale $X\in\mathfrak{X}(M)$ non nullo
in ogni punto ( ossia esiste $X$ sezione differenziabile di $TM$
tale che per ogni $p\in M$ risulta $X(p)\ne0$ (dove lo $0$ è quello
di $T_{p}M$ )).
Premetto alcune definizioni per evitare equivoci.
Definizione
Sia $M$ una varieta differenziabile di classe $C^{\infty}$ e dimensione
$n$. Denotiamo con $\mathfrak{X}(M)$ l'insieme definito da: $X\in\mathfrak{X}(M)$
$\Leftrightarrow$ $X:M\to TM$ sezione differenziabile.
Definizione
Sia $M$ una varieta differenziabile di classe $C^{\infty}$ e dimensione
$n$. Una "distribuzione $d$-dimensionale'' è un applicazione
$D:M\to2^{TM}$ tale che $\forall p\in M$ risulta che $D_{p}$ è
un sottospazio vettoriale di $T_{p}M$ di dimensione $d$. La distribuzione
si dice $C^{\infty}$ se $\forall p\in M$ $\exists V_{p}$ intorno aperto
di $p$ ed esistono $X_{1}^{p}$,...,$X_{d}^{p}\in\mathfrak{X}(V_{p})$
tali che $\forall q\in V_{p}$ risulta $D_{q}=
Cio premesso, notiamo che l'esistenza di una distribuzione di dimensione
$0$ oppure $n$ è banale. Non è così per le distribuzioni di dimensione
compresa tra $1$ e $n-1$.
Ma torniamo al teorema. L'implicazioen $(2)\Rightarrow(1)$ è facile.
Il problema è l'implicazione $(1)\Rightarrow(2)$.
Premetto che la dimostrazione che ha fatto la mia Prof. contiene egli
errori. Ho provato, per quanto ho potuto, a seguirne la strada, ma
ad un certo punto mi sono bloccato. Ma ora procedo con il mio tentativo
per illustrarvi i punti che mi sono oscuri.
Dimostrazione
Per ipotesi sappiamo che $\forall p\in M$ $\exists V_{p}$ intorno
aperto di $p$ ed esiste $Y^{p}\in\mathfrak{X}(V_{p})$ tale che $\forall q\in V_{p}$
risulta $D_{q}=
aperto di $M$ e pertanto esiste una $(f_{p})_{p\in M}$ partizione
dell'unita subordinata a tale ricoprimento (subordinata significa
che $\Supp(f_{p}) \subset V_{p}$ per ogni $p$).
Definiamo $\forall p\in M$ $X^{p}:=f_{p} \cdot Y^{p}$.
Allora $\forall p\in M$ $X_{p}\in\mathfrak{X}(V_{p})$ ed inoltre
$X^{p}(q)=0$ per ogni $q\in V_{p}-Supp(f_{p})$. Quindi possiamo
prolungare le $X^{p}$ a tutto $M$ ponendo $\forall p\in M$ $\forall q\in M$
$Z^{p}(q):=X^{p}(q)$ se $q\in V_{p}$
$Z^{p}(q):=0$ se $q\in C(Supp(f_{p}))$
Segue che le $Z^{p}\in\mathfrak{X}(M)$.
Definiamo infine $X:M\to TM$ tale che $\forall p\in M$ $X(p):=\sum_{q\in M}Z^{q}(p)$.
Per ogni $p$, la somma precedente, risulta essere finita.
Il problema ora è questo: come faccio a dimostrare che $\forall p\in M$
risulta $X(p)\ne0_{T_{p}M}$?
Dal punto di vista "delle idee", posso dire che ho usato una costruzione molto simile nel teorema in cui dimostro che una funzione differenziabile su un chiuso è sempre prolungabile ad una funzione differenziabile su tutta la varietà. Solo che in quel caso potevo far "uscire" dalla sommatoria le funzioni che in questa dimostrazione sarebbero le $Y^q(p)$
Voglio precisare che NON so assolutamente se questa dimostrazione
(o idea) è corretta. Sto semplicemente seguendo la traccia della dimostrazione
(sbagliata) che ha fatto la prof. in classe.
Grazie a tutti coloro che vorranno aiutarmi.
Risposte
CIa0, io trovo che la dimostrazione sia corretta!
Ti suggerisco (solo per mia pigrizia) di esplcitare alla fine di tutto chi sia \(X(P)\) e utilizzare le proprietà della partizione dell'unità.
Ti suggerisco (solo per mia pigrizia) di esplcitare alla fine di tutto chi sia \(X(P)\) e utilizzare le proprietà della partizione dell'unità.
Intendi la proprietà che per ogni $p\in M$ $\sum_{i\inI}f_i(p)=1$?
Il problema è che mi ritrovo con una combinazione lineare finita di vettori non nulli e coefficienti positivi, e questo in se non mi basta per affermare che tutta la combinazione lineare è non nulla... 
Ma se hai \(d\) vettori che generano uno spazio vettoriale di dimensione \(d\): non sono linearmente indipendenti?
Mah... continuo a non capire...provo ad esplicitare:
Sia $p\inM$. Allora esistono $q_1,...,q_s\inM$ tali che
$X(p)=Z^{q_1}(p)+...+Z^{q_s}(p)$ ed inoltre $\forall i\in{1,...,n}$ $Z^{q_i}(p)\ne0$
Allora per ogni $i \in {1,...,n}$ $Z^{q_i}(p)\ne0$ $Rightarrow$ non possiamo essere nel secondo caso $Rightarrow$ siamo nel primo $Rightarrow$ $Z^{q_i}(p)=X^{q_i}(p)=f_{q_i}(p)Y^{q_i}(p)$.
Sempre per il fatto che $\forall \in {1,...,n}$ $Z^{q_i}(p)\ne0$ sappiamo che $\forall \in {1,...,n}$ $f_{q_i}(p)>0$.
Ora il problema sono le $Y^{q_i}(p)$.
Essendo ogni $Y^{q_i}$ una sezione, sappiamo che $\forall i \in {1,...,n} Y^{q_i}(p) \in T_{p}M$ che è uno spazio vettoriale di dimensione $n$. Sappiamo anche che $\forall i \in {1,...,n} Y^{q_i}(p) \ne 0_{T_{p}M}$.
Da dove esce la lineare indipendenza?
Sia $p\inM$. Allora esistono $q_1,...,q_s\inM$ tali che
$X(p)=Z^{q_1}(p)+...+Z^{q_s}(p)$ ed inoltre $\forall i\in{1,...,n}$ $Z^{q_i}(p)\ne0$
Allora per ogni $i \in {1,...,n}$ $Z^{q_i}(p)\ne0$ $Rightarrow$ non possiamo essere nel secondo caso $Rightarrow$ siamo nel primo $Rightarrow$ $Z^{q_i}(p)=X^{q_i}(p)=f_{q_i}(p)Y^{q_i}(p)$.
Sempre per il fatto che $\forall \in {1,...,n}$ $Z^{q_i}(p)\ne0$ sappiamo che $\forall \in {1,...,n}$ $f_{q_i}(p)>0$.
Ora il problema sono le $Y^{q_i}(p)$.
Essendo ogni $Y^{q_i}$ una sezione, sappiamo che $\forall i \in {1,...,n} Y^{q_i}(p) \in T_{p}M$ che è uno spazio vettoriale di dimensione $n$. Sappiamo anche che $\forall i \in {1,...,n} Y^{q_i}(p) \ne 0_{T_{p}M}$.
Da dove esce la lineare indipendenza?
Scusami, ho fatto confusione tra la dimensione della distribuzione \(\Delta\) e i vari campi vettoriali che utilizzi per costruire il campo vettoriale globale \(Z\) su \(M\)!
Don't worry 
@dark121it
Il problema è che i campi locali \(Y^p\) potrebbero andare in direzioni opposte. Per sistemarli, si potrebbe rimpiazzare \(Y^p\) con \(-Y^p\) (per alcune scelte di \(p\)) in modo da ottenere che, se \(V_p \cap V_q \neq \varnothing\), allora \(Y^q(x) = g_{pq}(x) \cdot Y^p(x)\) per ogni \(x \in V_p \cap V_q\), dove \(g_{pq}\) è una funzione positiva. Con questa scelta degli \(Y^p\) le cose dovrebbero funzionare.
Il problema è che i campi locali \(Y^p\) potrebbero andare in direzioni opposte. Per sistemarli, si potrebbe rimpiazzare \(Y^p\) con \(-Y^p\) (per alcune scelte di \(p\)) in modo da ottenere che, se \(V_p \cap V_q \neq \varnothing\), allora \(Y^q(x) = g_{pq}(x) \cdot Y^p(x)\) per ogni \(x \in V_p \cap V_q\), dove \(g_{pq}\) è una funzione positiva. Con questa scelta degli \(Y^p\) le cose dovrebbero funzionare.
"elvis":
@dark121it
Il problema è che i campi locali \(Y^p\) potrebbero andare in direzioni opposte. Per sistemarli, si potrebbe rimpiazzare \(Y^p\) con \(-Y^p\) (per alcune scelte di \(p\)) in modo da ottenere che, se \(V_p \cap V_q \neq \varnothing\), allora \(Y^q(x) = g_{pq}(x) \cdot Y^p(x)\) per ogni \(x \in V_p \cap V_q\), dove \(g_{pq}\) è una funzione positiva. Con questa scelta degli \(Y^p\) le cose dovrebbero funzionare.
L'idea sembra buona. Appena avrò un po' di tempo proverò a formalizzarla per bene. Grazie.
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