Distanza tra un punto e un piano in R4

[supergiox]

Buonasera a tutti!
Ho trovato il seguente problema che mi ha messo seriamente in difficoltà:

Determinare la distanza dal punto P=[1,-1,-1,2] al piano passante per i punti A=[2,-1,0,1], B=[0,-1,-2,-1] e
C=[-1,1,-2,-1].

Soluzione: \(\displaystyle 3\sqrt{2/7} \)

Se lo stesso problema fosse a tre dimensioni farei così:
-trovo le eq. parametriche del piano;
-trovo le parametriche di una retta il cui direttore sia ortogonale ai due direttori del piano;
-faccio l'intersezione tra retta e piano e trovo un punto;
-calcolo la distanza euclidea tra il punto appena trovato e il punto P.

Ho provato a fare lo stesso su R4, ma con le sole condizioni di ortogonalità ho un sistema in 2 equazioni e 4 incognite (le coordinate del direttore della retta). Variando i due parametri liberi troverei rette totalmente diverse, quindi non va bene.
Cosa posso fare?

[Maci86]

Prima cosa trova gli ortogonali al piano, genereranno un altro piano in $RR^4$:
$Pi: A+<(A-B),(A-C)>=((2),(-1),(0),(1)) +<((2),(0),(2),(2)),((3),(-2),(2),(2))>$
$Pi^(_|_): P+<(A-B),(A-C)>^(_|_)=((1),(-1),(-1),(2))+ <((2),(1),(-2),(0)),((0),(0),(1),(-1))>$
Vediamo dove si intersecano:
$Pi:\{(2x+y-2z=3),(z-w=-1):}, Pi^(_|_):\{(2x+2z+2w=4),(3x-2y+2z+2w=7):}$
$((2,1,-2,0,3),(0,0,1,-1,-1),(2,0,2,2,4),(3,-2,2,2,7))=>((1,0,0,0,11/7),(0,1,0,0,-9/7),(0,0,1,0,-2/7),(0,0,0,1,5/7))$
Non ti resta che calcolare la distanza dal punto appena trovato E rifare il conto per vedere se ho sbagliato:D

[supergiox]

Ottimo! E il risultato è corretto
Quindi se ho capito bene, due piani (ortogonali in questo caso) in R4 si intersecano in un punto!?
Scusa l'ignoranza, ma come hai calcolato la giacitura del secondo piano?

[Maci86]

Ho usato il duale/prodotto scalare/ortogonale per capire quali erano i vettori ortogonali ad entrambi i vettori del piano

[manutara88]

Perdona la mia intrusione devo risolvere un esercizio simile. Non capisco come utilizzi il prodotto scalare per trovare i vettori ortogonali. Il prodotto scalare non da semplicemente uno scalare?

[Maci86]

Si, devi cercare un vettore che per l'altro ti dia zero Che problema devi risolvere?

[supergiox]

È quello che ho provato a fare io all'inizio ma, come avevo detto nel primo post, mi ritrovo con 2 equazioni in 4 incognite (le 4 coordinate), quindi ho infinite al quadrato soluzioni. Come li scelgo i due parametri liberi? Ho provato con due parametri a caso e non vanno bene.

[Maci86]

Prova a scrivere un problema qui, così ci diamo un occhio passo passo.. Ovviamente con 2 equazioni otterrai un piano che avrà due vettori che lo generano, uno per parametro libero, puoi porne uno a 0 e l'altro a 1...