Distanza tra rette
Ciao a tutti, vi propongo un esercizio che non riesco a risolvere, sperando che mi possiate dare una mano.
Ecco il testo:
In $RR^3$ con coordinate cartesiane $(x, y, z)$, si consideri la retta $r: {x - y = 0,\ z = 3y +2}$. Tra le rette perpendicolari ad $r$ ed incidenti $r$ nel punto $P= (0, 0, 2)$, determinare quelle che hanno distanza 1 da $s : { x = y,\ y = z}$.
Mi sono mossa in questa maniera per risolvere l'esercizio:
ho trovato il piano $Q$, passante per $P$ e perpendicolare ad $r$, la cui equazione cartesiana è $x + y +3z - 6 = 0$. I vettori direttori di questo piano sono $q_1 = (-1, 1, 0)$ e $q_2 = (-3, 0, 1)$.
La retta $s$ ha come vettore direzione, invece, $s_1 = (1, 1, 1)$.
Adesso, però, non so come fare per trovare quali siano le rette che distano $1$ da $s$.
Ho pensato di trovare una retta $t$ che sia ortogonale sia ad $s$ che al piano $Q$, calcolare i punti di intersezione di $t$ con $s$ e $Q$ ed imporre che la distanza sia 1, ma non so bene come procedere.
Mi potreste dare qualche idea o dire se sono sulla strada giusta?
Grazie a tutti!
Ecco il testo:
In $RR^3$ con coordinate cartesiane $(x, y, z)$, si consideri la retta $r: {x - y = 0,\ z = 3y +2}$. Tra le rette perpendicolari ad $r$ ed incidenti $r$ nel punto $P= (0, 0, 2)$, determinare quelle che hanno distanza 1 da $s : { x = y,\ y = z}$.
Mi sono mossa in questa maniera per risolvere l'esercizio:
ho trovato il piano $Q$, passante per $P$ e perpendicolare ad $r$, la cui equazione cartesiana è $x + y +3z - 6 = 0$. I vettori direttori di questo piano sono $q_1 = (-1, 1, 0)$ e $q_2 = (-3, 0, 1)$.
La retta $s$ ha come vettore direzione, invece, $s_1 = (1, 1, 1)$.
Adesso, però, non so come fare per trovare quali siano le rette che distano $1$ da $s$.
Ho pensato di trovare una retta $t$ che sia ortogonale sia ad $s$ che al piano $Q$, calcolare i punti di intersezione di $t$ con $s$ e $Q$ ed imporre che la distanza sia 1, ma non so bene come procedere.
Mi potreste dare qualche idea o dire se sono sulla strada giusta?
Grazie a tutti!
Risposte
Temo che alla fine non sia possibile risolverlo perchè viene una equazione di quarto grado.
Le 3 condizioni sono:
- perpendicolare a $r$
- passa per $(0,0,2)$
- distanza 1 da $s$
Comunque io procederei così:
Trovi una forma parametrica della retta $t$ perpendicolare alla retta $r$ (ovviamente dipenderà da un parametro, $k$).
$t=(-k-3, k, 1)a+(0,0,2)$
Trovi la retta $u$ perpendicolare a $s$ e $t$.
Imponi in passaggio di $u$ per $s$
$u=(1-k,-k-4, 2k+3)b+(1,1,1)c$
e trovi su $u$ due punti a distanza 1 dalla $s$.
$P_(1,2)=\pm((1-k,-k-4, 2k+3))/\sqrt(6k^2+18k+26)+(1,1,1)c$
Si impone il passaggio di $t$ per i punti e si risolve il sistema così impostato nelle variabili $k,a,c$.
$\pm((1-k,-k-4, 2k+3))/\sqrt(6k^2+18k+26)+(1,1,1)c=(-k-3, k, 1)a+(0,0,2)$
Però la presenza di quella radice complica tutto.
Le 3 condizioni sono:
- perpendicolare a $r$
- passa per $(0,0,2)$
- distanza 1 da $s$
Comunque io procederei così:
Trovi una forma parametrica della retta $t$ perpendicolare alla retta $r$ (ovviamente dipenderà da un parametro, $k$).
$t=(-k-3, k, 1)a+(0,0,2)$
Trovi la retta $u$ perpendicolare a $s$ e $t$.
Imponi in passaggio di $u$ per $s$
$u=(1-k,-k-4, 2k+3)b+(1,1,1)c$
e trovi su $u$ due punti a distanza 1 dalla $s$.
$P_(1,2)=\pm((1-k,-k-4, 2k+3))/\sqrt(6k^2+18k+26)+(1,1,1)c$
Si impone il passaggio di $t$ per i punti e si risolve il sistema così impostato nelle variabili $k,a,c$.
$\pm((1-k,-k-4, 2k+3))/\sqrt(6k^2+18k+26)+(1,1,1)c=(-k-3, k, 1)a+(0,0,2)$
Però la presenza di quella radice complica tutto.
Ciao!
Innanzitutto, grazie della risposta.
La forma parametrica della retta $t$ perpendicolare a $r$, definisce un piano o sbaglio? Per la precisione, credo definisca il piano che io ho indicato con $Q$ nel post precedente.
A questo punto, dovrei cercare un altro piano, perpendicolare a $s$ e $Q$ e poi la retta $u$ che, tra quelle di quel piano, dista 1 da $s$, sto sbagliando tutto?
Non capisco come procedi tu quando dici "Trovi la retta $u$ perpendicolare a $s$ e $t$." La perpendicolarità si impone mettendo il prodotto scalare dei vettori direzione a 0, tu, invece, come fai?
Scusa per tutte le domande, ma non capisco e vorrei una mano!
Innanzitutto, grazie della risposta.
La forma parametrica della retta $t$ perpendicolare a $r$, definisce un piano o sbaglio? Per la precisione, credo definisca il piano che io ho indicato con $Q$ nel post precedente.
A questo punto, dovrei cercare un altro piano, perpendicolare a $s$ e $Q$ e poi la retta $u$ che, tra quelle di quel piano, dista 1 da $s$, sto sbagliando tutto?
Non capisco come procedi tu quando dici "Trovi la retta $u$ perpendicolare a $s$ e $t$." La perpendicolarità si impone mettendo il prodotto scalare dei vettori direzione a 0, tu, invece, come fai?
Scusa per tutte le domande, ma non capisco e vorrei una mano!
"delca85":
Ciao!
Innanzitutto, grazie della risposta.
La forma parametrica della retta $t$ perpendicolare a $r$, definisce un piano o sbaglio? Per la precisione, credo definisca il piano che io ho indicato con $Q$ nel post precedente.
Si, ok.
A questo punto, dovrei cercare un altro piano, perpendicolare a $s$ e $Q$ e poi la retta $u$ che, tra quelle di quel piano, dista 1 da $s$, sto sbagliando tutto?
Ti correggo la frase:
A questo punto, dovrei cercare un altro piano, perpendicolare a $Q$ e parallelo ad $s$ (non può essere altrimenti) e poi la retta $u$ che, tra quelle di quel piano, dista 1 da $s$, sto sbagliando tutto?
Comunque anche in questa forma non è corretto.
Il segmento di retta da cercare che ha lunghezza 1 è perpendicolare sia ad $t$ che ad $s$, quindi l'unico modo è fare il prodotto vettoriale delle due rette, senza cercare altri piani.
Non capisco come procedi tu quando dici "Trovi la retta $u$ perpendicolare a $s$ e $t$." La perpendicolarità si impone mettendo il prodotto scalare dei vettori direzione a 0, tu, invece, come fai?
Ho fatto il prodotto vettoriale. $u = s \times t$
Ho capito, scusa ma avevo fatto confusione e scritto stupidaggini.
Ora mi è chiaro come procedi. Grazie ancora.
Ora mi è chiaro come procedi. Grazie ancora.
Non c'è nulla da scusarsi... prego.
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