Distanza tra punto e retta dello spazio!

[gios-votailprof]

Salve a tutti,
non riesco a risolvere questo problema:

Ho un punto $A(0,0,1)$ e una retta $r: {(z=0),(2x+y-1=0):}$

come si calcola la distanza tra punto e retta in questo caso? Se eravamo sul piano non avevo problema, però nello spazio sto trovando difficoltà...

[dissonance]

Io farei così: prendi un punto qualsiasi $Q$ su $r$ e una base ortonormale dello spazio ortogonale a $r$. Calcola la proiezione ortogonale di $vec(AQ)$ su questo spazio ortogonale: la lunghezza di quest'ultimo vettore è la distanza che ti serve.

[gios-votailprof]

Non credo di essere in grado di farlo...

[Sk_Anonymous]

alora, devi:
- calcolarti il vettore direttore della retta
tramite i minori, ecc...
- trovare il piano perpendicolare ad r passante per il punto A
sapendo che il piano che devi trovare ha equazione: $ax+by+cz+d=0$, sostituisci ad a,b,c le coordinate del vettore direttore, e ad x,y,z, quelle del punto A
- fare l'intersezione tra la retta ed il piano trovato (in modo da trovarti un secondo punto B)
devi fare il normale sistema tra 3 piani (le due equazioni della retta e quella del piano)
- poi, semplicemente fare la distanza tra A e B

tutto qua, spero d'esserti stato chiaro.

ciaps

[gios-votailprof]

Chiaro e limpido come l'acqua! Ti ringrazio!

[Sk_Anonymous]

asd, prego

buon lavoro

[franced]

"Gios":Salve a tutti,
non riesco a risolvere questo problema:

Ho un punto $A(0,0,1)$ e una retta $r: {(z=0),(2x+y-1=0):}$

come si calcola la distanza tra punto e retta in questo caso?

Voglio riportare un procedimento non standard (almeno per l'esame di geometria).
Parametrizziamo la retta $r$:

$((x),(y),(z)) = ( (t) , (1-2t) , (0) )$

a questo punto calcoliamo la distanza del generico punto $P$ di $r$ dal punto $A$:

$AP = sqrt((t-0)^2+(1-2t-0)^2+(0-1)^2) = sqrt(5t^2 - 4t + 2)$

minimizzando il radicando troviamo $t = 2/5$ per cui

$AP_{min} = sqrt(5 \cdot (2/5)^2 - 4 \cdot (2/5) + 2) = (sqrt(30))/5$

[azza91]

"franced":[quote="Gios"]Salve a tutti,
non riesco a risolvere questo problema:

Ho un punto $A(0,0,1)$ e una retta $r: {(z=0),(2x+y-1=0):}$

come si calcola la distanza tra punto e retta in questo caso?

Voglio riportare un procedimento non standard (almeno per l'esame di geometria).
Parametrizziamo la retta $r$:

$((x),(y),(z)) = ( (t) , (1-2t) , (0) )$

a questo punto calcoliamo la distanza del generico punto $P$ di $r$ dal punto $A$:

$AP = sqrt((t-0)^2+(1-2t-0)^2+(0-1)^2) = sqrt(5t^2 - 4t + 2)$

minimizzando il radicando troviamo $t = 2/5$ per cui

$AP_{min} = sqrt(5 \cdot (2/5)^2 - 4 \cdot (2/5) + 2) = (sqrt(30))/5$[/quote]



ciao franced senti non ho capito una cosa come fai da $AP = sqrt((t-0)^2+(1-2t-0)^2+(0-1)^2) = sqrt(5t^2 - 4t + 2)$ a ottenere il risultato di t? grazie ciaociao

[franced]

"azza91":[quote="franced"][quote="Gios"]Salve a tutti,
non riesco a risolvere questo problema:

Ho un punto $A(0,0,1)$ e una retta $r: {(z=0),(2x+y-1=0):}$

come si calcola la distanza tra punto e retta in questo caso?

Voglio riportare un procedimento non standard (almeno per l'esame di geometria).
Parametrizziamo la retta $r$:

$((x),(y),(z)) = ( (t) , (1-2t) , (0) )$

a questo punto calcoliamo la distanza del generico punto $P$ di $r$ dal punto $A$:

$AP = sqrt((t-0)^2+(1-2t-0)^2+(0-1)^2) = sqrt(5t^2 - 4t + 2)$

minimizzando il radicando troviamo $t = 2/5$ per cui

$AP_{min} = sqrt(5 \cdot (2/5)^2 - 4 \cdot (2/5) + 2) = (sqrt(30))/5$[/quote]



ciao franced senti non ho capito una cosa come fai da $AP = sqrt((t-0)^2+(1-2t-0)^2+(0-1)^2) = sqrt(5t^2 - 4t + 2)$ a ottenere il risultato di t? grazie ciaociao[/quote]

Sempice: minimizzare il radicando equivale a trovare l'ascissa del vertice della parabola avente
come equazione $y = $ radicando...

[orazioster]

"dissonance":Io farei così: prendi un punto qualsiasi $Q$ su $r$ e una base ortonormale dello spazio ortogonale a $r$. Calcola la proiezione ortogonale di $vec(AQ)$ su questo spazio ortogonale: la lunghezza di quest'ultimo vettore è la distanza che ti serve.

-infatti io approccio la questione esattamente così.
-Considero il vettore $\vec(AQ)$ -in funzione del parametro $t$ con
cui ho parametrizzato la retta. E considero un vettore $\vecu$
parallelo alla retta.
Poi impongo che i due vettori siano ortogonali: $<\vec(AQ),\vecu>"="0$.
Così ho $t$ tale che il vettore $\vec(AQ)$ sia di modulo minimo -ed
$\bar(AQ)$ sarà la distanza $d(A,r)$.

In questo caso:

$r={(x,y,z)|x=t,y=1-2t,z=0}$
$\vecu=(1,-2,0)$

$\vec(AQ)(t)=(t,1-2t,-1)$
$<\vec(AQ)(t),\vecu>"="(5t-2)=0 ->t=2/5$
Così$\barQ=(2/5,1/5,0)$

[Thyeme]

riesumo questa discussione perché studiando proprio ora le distanze ho trovato un metodo "meccanico" più semplice!
Se si ha $r = P + $ e il punto $A$ il metodo per calcolare la distanza è $ || (A-P) xx v || / ||v||$

Dove l operazione $||*||$ indica la norma di un vettore e $ xx$ il suo prodotto vettoriale..

Operando in questo modo si trova l area del parallelogramma che ha come base la retta $r$, come altezza $(A-H)$ e come lato $(A-P)$. ($H$ è il punto della retta $r$ più vicino al punto $A$) e si divide quest area per la lunghezza della base trovando appunto l altezza!!