Distanza tra piani in $E^4(RR)$
ho il seguente esercizio
siano dai in $E^4$ i seguenti punti
$P_1=((0),(0),(1),(-1))$ $P_2=((2),(1),(0),(-1))$ $P_3=((0),(-1),(2),(0))$ $Q_1=((1),(-1),(0),(0))$ $Q_2=((2),(1),(-2),(0))$ $Q_3=((1),(1),(-2),(-2))$
una volta determinati $\pi=P_1vvP_2vvP_3$ e $\tau=Q_1vvQ_2vvQ_3$
determinare i punti di minima distanza
con qualche conto sono riuscita a trovare le seguenti equazioni cartesiane per $\pi$ e $\tau$
$\pi:\{(x_2+x_3=1),(x_1-2x_2-2x_4=2):}$
$\tau:\{(x_2+x_3=-1),(2x_1+x_3-x_4=2):}$
e parametriche
$\pi:((0),(0),(1),(-1))+\alpha((2),(0),(0),(1))+\beta((0),(1),(-1),(-1))$
$\tau:((1),(-1),(0),(0))+\gamma((1),(0),(0),(2))+\delta((0),(1),(-1),(-1))$
non hanno punti in comune,e hanno in comune solo uno dei 2 vettori dello spazio direttore,quindi non sono ne' incidenti,ne'paralleli,ne' sghembi
osservo poi che un vettore ortogonale a entrambi i piani e' $v=((0),(1),(1),(0))$
allora per calcolare i punti di minima distanza ho pensato
un generico punto di $\pi$ e' $((2\alpha),(\beta),(1-\beta),(-1+\alpha-\beta))$
quindi devo sommargli $t$ volte $v$ e ottenere un punto di $\tau$
cioe' impongo che $((2\alpha),(\beta+t),(1-\beta+t),(-1+\alpha-\beta)) in \{(x_2+x_3=-1),(2x_1+x_3-x_4=2):}$
allora sostituisco
$\{((\beta+t)+(1-\beta+t)=-1),(2(2\alpha)+(1-\beta+t)-(-1+\alpha-\beta)=2):}\Rightarrow\{(t=-1),(\alpha=1/3):}$
quindi non viene determinato $\beta$
quindi mi verrebbe da pensare che e' indifferente la scelta di $\beta$
ma cosa vuol dire allora?
vuol dire che che ho 2 rette di distanza minima???
AIUTOOOOOO
siano dai in $E^4$ i seguenti punti
$P_1=((0),(0),(1),(-1))$ $P_2=((2),(1),(0),(-1))$ $P_3=((0),(-1),(2),(0))$ $Q_1=((1),(-1),(0),(0))$ $Q_2=((2),(1),(-2),(0))$ $Q_3=((1),(1),(-2),(-2))$
una volta determinati $\pi=P_1vvP_2vvP_3$ e $\tau=Q_1vvQ_2vvQ_3$
determinare i punti di minima distanza
con qualche conto sono riuscita a trovare le seguenti equazioni cartesiane per $\pi$ e $\tau$
$\pi:\{(x_2+x_3=1),(x_1-2x_2-2x_4=2):}$
$\tau:\{(x_2+x_3=-1),(2x_1+x_3-x_4=2):}$
e parametriche
$\pi:((0),(0),(1),(-1))+\alpha((2),(0),(0),(1))+\beta((0),(1),(-1),(-1))$
$\tau:((1),(-1),(0),(0))+\gamma((1),(0),(0),(2))+\delta((0),(1),(-1),(-1))$
non hanno punti in comune,e hanno in comune solo uno dei 2 vettori dello spazio direttore,quindi non sono ne' incidenti,ne'paralleli,ne' sghembi
osservo poi che un vettore ortogonale a entrambi i piani e' $v=((0),(1),(1),(0))$
allora per calcolare i punti di minima distanza ho pensato
un generico punto di $\pi$ e' $((2\alpha),(\beta),(1-\beta),(-1+\alpha-\beta))$
quindi devo sommargli $t$ volte $v$ e ottenere un punto di $\tau$
cioe' impongo che $((2\alpha),(\beta+t),(1-\beta+t),(-1+\alpha-\beta)) in \{(x_2+x_3=-1),(2x_1+x_3-x_4=2):}$
allora sostituisco
$\{((\beta+t)+(1-\beta+t)=-1),(2(2\alpha)+(1-\beta+t)-(-1+\alpha-\beta)=2):}\Rightarrow\{(t=-1),(\alpha=1/3):}$
quindi non viene determinato $\beta$
quindi mi verrebbe da pensare che e' indifferente la scelta di $\beta$
ma cosa vuol dire allora?
vuol dire che che ho 2 rette di distanza minima???
AIUTOOOOOO
Risposte
Una retta ha bisogno di un parametro libero, che qui è $\beta$.
Ad un certo punto hai preso il generico punto di $\bb\pi$:
$((2\alpha),(\beta),(1-\beta),(-1+\alpha-\beta))$.
Vorrà dire , siccome $\alpha=1/3$, che la retta di distanza minima è:
$(("2/3"),(0),(1),("-2/3"))+ \beta((0),(1),(-1),(-1))$.
Sull'altro piano ci sarà una retta parallela a questa.
Comunque c'è qualcosa che non mi torna qui:
$\pi:((0),(0),(1),(-1))+\alpha((2),(0),(0),(1))+\beta((0),(1),(-1),(-1))$
$\tau:((1),(-1),(0),(0))+\gamma((1),(0),(0),(2))+\delta((0),(1),(-1),(-1))$
I piani in forma parametrica sono
$\bb\pi=\bbP_1+\alpha(\bbP_2-\bbP_1)+\beta(\bbP_3-\bbP_1)$
$\bb\tau=\bbQ_1+\gamma(\bbQ_2-\bbQ_1)+\delta(\bbQ_3-\bbQ_1)$
o qualche altra combinazione, ma i tuoi numeri non mi tornano.
Ad un certo punto hai preso il generico punto di $\bb\pi$:
$((2\alpha),(\beta),(1-\beta),(-1+\alpha-\beta))$.
Vorrà dire , siccome $\alpha=1/3$, che la retta di distanza minima è:
$(("2/3"),(0),(1),("-2/3"))+ \beta((0),(1),(-1),(-1))$.
Sull'altro piano ci sarà una retta parallela a questa.
Comunque c'è qualcosa che non mi torna qui:
$\pi:((0),(0),(1),(-1))+\alpha((2),(0),(0),(1))+\beta((0),(1),(-1),(-1))$
$\tau:((1),(-1),(0),(0))+\gamma((1),(0),(0),(2))+\delta((0),(1),(-1),(-1))$
I piani in forma parametrica sono
$\bb\pi=\bbP_1+\alpha(\bbP_2-\bbP_1)+\beta(\bbP_3-\bbP_1)$
$\bb\tau=\bbQ_1+\gamma(\bbQ_2-\bbQ_1)+\delta(\bbQ_3-\bbQ_1)$
o qualche altra combinazione, ma i tuoi numeri non mi tornano.
per quanto riguarda le equazioni parametriche,ho appunto usato
$π=P1+α(P2−P1)+β(P3−P1)$
$τ=Q1+γ(Q2−Q1)+δ(Q3−Q1)$
però poi ho rimaneggiato i vettori per evidenziare la direzioni comuni e avere più zeri che potevo nell'altra direzione
ho controllato il conto un milione di volte,ma non escludo di aver sbagliato
per quanto riguarda la tua risposta al problema:forse mi sono spiegata male
da come è formulato il mio esercizio,sembra che io debba trovare punti di minima distanza,ma i miei conti fanno emergere rette di minima distanza,che sono appunto quelle che mi hai detto tu
volevo sapere se c'era qualche ipotesi che mi era sfuggita nel calcolo dei punti i minima distanza o è corretto e plausibile avere 2 rette di minima distanza
$π=P1+α(P2−P1)+β(P3−P1)$
$τ=Q1+γ(Q2−Q1)+δ(Q3−Q1)$
però poi ho rimaneggiato i vettori per evidenziare la direzioni comuni e avere più zeri che potevo nell'altra direzione
ho controllato il conto un milione di volte,ma non escludo di aver sbagliato
per quanto riguarda la tua risposta al problema:forse mi sono spiegata male
da come è formulato il mio esercizio,sembra che io debba trovare punti di minima distanza,ma i miei conti fanno emergere rette di minima distanza,che sono appunto quelle che mi hai detto tu
volevo sapere se c'era qualche ipotesi che mi era sfuggita nel calcolo dei punti i minima distanza o è corretto e plausibile avere 2 rette di minima distanza
"Benihime":
per quanto riguarda le equazioni parametriche,ho appunto usato
$π=P1+α(P2−P1)+β(P3−P1)$
$τ=Q1+γ(Q2−Q1)+δ(Q3−Q1)$
però poi ho rimaneggiato i vettori per evidenziare la direzioni comuni e avere più zeri che potevo nell'altra direzione
ho controllato il conto un milione di volte,ma non escludo di aver sbagliato
Non hai sbagliato, solo che mi sembra superfluo "semplificare" quei vettori.
Lo spazio ortogonale a entrambi i piani io lo troverei con
$Ker((\bbP_3-\bbP_1),(\bbP_2-\bbP_1),(\bbQ_3-\bbQ_1),(\bbQ_2-\bbQ_1))$
per quanto riguarda la tua risposta al problema:forse mi sono spiegata male
da come è formulato il mio esercizio,sembra che io debba trovare punti di minima distanza,ma i miei conti fanno emergere rette di minima distanza,che sono appunto quelle che mi hai detto tu
volevo sapere se c'era qualche ipotesi che mi era sfuggita nel calcolo dei punti i minima distanza o è corretto e plausibile avere 2 rette di minima distanza
Non so perchè parli di due rette.
Hai due rette nel senso che hai due rette di minima distanza che sono parallele e una giace su un piano e l'altra giace sull'altro piano.
Da come lo scrivi tu sembra che sullo stesso piano hai due rette di minima distanza. Questo non è vero.
Immagina il problema in cui ti danno due sottospazi affini di $E^(77)(\RR)$ determinati ciascuno da un sistema di $44$ equazioni, e tu devi trovare il sottospazio affine di minima distanza, quali potrebbero essere le soluzioni e come imposti il problema ?
"Quinzio":
Non so perchè parli di due rette.
Hai due rette nel senso che hai due rette di minima distanza che sono parallele e una giace su un piano e l'altra giace sull'altro piano.
Da come lo scrivi tu sembra che sullo stesso piano hai due rette di minima distanza. Questo non è vero.
no no scusa,intendevo proprio cio' che dici tu,mi sono spiegata male io.
"Quinzio":
Immagina il problema in cui ti danno due sottospazi affini di $ E^(77)(\RR) $ determinati ciascuno da un sistema di $ 44 $ equazioni, e tu devi trovare il sottospazio affine di minima distanza, quali potrebbero essere le soluzioni e come imposti il problema ?
oddio,una procedura che non investa un milione di conti e risoluzioni di sistemi non mi viene in mente..gli unici metodi alternativi al metodo che ho usato io sono applicabili solo in $ E^(2)(\RR) $ e in $ E^(3)(\RR) $.
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