Distanza tra due rette sghembe
Salve, avrei bisogno di un piccolo aiuto per risolvere questo esercizio. Ho trovato molti esercizi simili già risolti ma il mio dubbio resta....
Determinare la distanza tra le rette sghembe di equazioni
$ r={ ( x=t),( y=t ),(z=2t ):} $
$ s={ ( x=3+2t),( y=-2-t ),(z=t ):} $
essendo sghembe, posso calcolare dist (r,s) =dist (A, TT) con $ A in r $=(0,0,0) e TT= piano passanta per la retta s e // alla retta r.
Devo determinare l'equazione di TT:
determino quindi le eq. cartesiane di s per scrivere il fascio di piani per s
e queste sono:
$ s={ ( x+2y+1=0),( -y-z-2=0 ):} $
a questo punto scriviamo l'equazione del fascio di piani per s:
$ a( x+2y+1)+b(-y-z-2)=0 $
considero ora il vettore dei parametri direttori di r =(1,1, 2)
sostituisco i valori rispettivamente a x,y,z ottenendo:
$ a( 1+2+1)+b(-1-2-2)=0 $
$ a(4)+b(-5)=0 $
quindi se a=1 --> b=4/5
ora sostituisco i valori trovati e dovrei ottenere l'equazione del piano TT:
$ 1( x+2y+1)+(4/5)(-y-z-2)=0 $
x+2y+1-4/5(y)-(4/5)z-(8/5)=0
otteniamo :
TT: 5x+6y-4z-3=0
a questo punto posso calcolare la distanza
dist(A,TT)= |-3|/ radice quadrata (5^2 +6^2 + (-4)^2)= 3/radice quadrata (77)
Secondo voi è giusto risolverlo in questo modo? Se avete consigli sono bene accetti... vi ringrazio
Determinare la distanza tra le rette sghembe di equazioni
$ r={ ( x=t),( y=t ),(z=2t ):} $
$ s={ ( x=3+2t),( y=-2-t ),(z=t ):} $
essendo sghembe, posso calcolare dist (r,s) =dist (A, TT) con $ A in r $=(0,0,0) e TT= piano passanta per la retta s e // alla retta r.
Devo determinare l'equazione di TT:
determino quindi le eq. cartesiane di s per scrivere il fascio di piani per s
e queste sono:
$ s={ ( x+2y+1=0),( -y-z-2=0 ):} $
a questo punto scriviamo l'equazione del fascio di piani per s:
$ a( x+2y+1)+b(-y-z-2)=0 $
considero ora il vettore dei parametri direttori di r =(1,1, 2)
sostituisco i valori rispettivamente a x,y,z ottenendo:
$ a( 1+2+1)+b(-1-2-2)=0 $
$ a(4)+b(-5)=0 $
quindi se a=1 --> b=4/5
ora sostituisco i valori trovati e dovrei ottenere l'equazione del piano TT:
$ 1( x+2y+1)+(4/5)(-y-z-2)=0 $
x+2y+1-4/5(y)-(4/5)z-(8/5)=0
otteniamo :
TT: 5x+6y-4z-3=0
a questo punto posso calcolare la distanza
dist(A,TT)= |-3|/ radice quadrata (5^2 +6^2 + (-4)^2)= 3/radice quadrata (77)
Secondo voi è giusto risolverlo in questo modo? Se avete consigli sono bene accetti... vi ringrazio
Risposte
"myrym":
considero ora il vettore dei parametri direttori di r =(1,1, 2)
sostituisco i valori rispettivamente a x,y,z ottenendo:
$ a( 1+2+1)+b(-1-2-2)=0 $
$ a(4)+b(-5)=0 $
Questo passaggio non è corretto.
L' ortogonalità tra il vettore normale a [tex]\pi[/tex] e il vett di direzione della retta [tex]r[/tex] devi imporla nell' equazione della giacitura del fascio.
In altre parole la sostituzione la devi fare in questa equazione:
[tex]a(x+2y)+b(-y-z)=0[/tex]
ok ci sono.... ma una domanda....i termini noti? non li considero?
questo esercizio l'ho risolto io e infatti il piano trovato da me e quindi anche la distanza è diverso dalla soluzione del prof.
Il piano dovrebbe avere equazione TT= x+y-z=1
e dist (r,s)= radice quadrata (3) / 3 (soluzione del prof.)
ma non capisco perchè i conti non tornano...
questo esercizio l'ho risolto io e infatti il piano trovato da me e quindi anche la distanza è diverso dalla soluzione del prof.
Il piano dovrebbe avere equazione TT= x+y-z=1
e dist (r,s)= radice quadrata (3) / 3 (soluzione del prof.)
ma non capisco perchè i conti non tornano...
I nuovi valori di [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] dove li hai inseriti?
Dove intendi sul considerare i termini noti?
Dove intendi sul considerare i termini noti?
allora dovrei inserise a=1 e b=1 trovati nell'equazione
a(x+2y+1)+b(-y-z-2)=0
perchè così ottengo proprio l'equazione del piano data dal prof. come soluzione... è giusto ?
a(x+2y+1)+b(-y-z-2)=0
perchè così ottengo proprio l'equazione del piano data dal prof. come soluzione... è giusto ?
esatto 
e nel calcolo della distanza?
ora dovrei calcolare la distanza tra il punto $ A in r $ =(0,0,0) e TT.
Ottengo dist (A,TT)= 1/ radice quadrata (3)
suppongo che la soluzione del prof. sia sbagliata perchè ottiene
rad. quad.(3)/3
....ti ringrazio davvero tanto perchè mi hai salvato la giornata non sapevo più come fare...
Però a questo punto mi sorge un dubbio che non riguarda questo esercizio ma in generale i fasci di piani per una retta.
ad esempio:
$ r={ ( x-y-1=0),( x+y+2z-3=0 ):} $
i piani del fascio per r hanno equazione:
a(x-y-1)+b(x+y+2z-3)=0
imponendo il passaggio per il punto A=(2,0,2) appartenente ad un'altra retta dovrei considerare solo
a(x-y)+b(x+y+2z)=0 quindi senza termini noti
determinare i valori di a,b e poi sostituirli in quella precedente
a(x-y-1)+b(x+y+2z-3)=0
trovando così il piano che mi interessa.
E' giusto così?
io ho sempre sostituito le coordinate del punto in
a(x-y-1)+b(x+y+2z-3)=0 considerando anche i termini noti,
e poi determinato i valori di a,b. Da quanto ho capito questo metodo è sbagliato mentre quello che mi hai illustrato è giusto...
ora dovrei calcolare la distanza tra il punto $ A in r $ =(0,0,0) e TT.
Ottengo dist (A,TT)= 1/ radice quadrata (3)
suppongo che la soluzione del prof. sia sbagliata perchè ottiene
rad. quad.(3)/3
....ti ringrazio davvero tanto perchè mi hai salvato la giornata
non sapevo più come fare...Però a questo punto mi sorge un dubbio che non riguarda questo esercizio ma in generale i fasci di piani per una retta.
ad esempio:
$ r={ ( x-y-1=0),( x+y+2z-3=0 ):} $
i piani del fascio per r hanno equazione:
a(x-y-1)+b(x+y+2z-3)=0
imponendo il passaggio per il punto A=(2,0,2) appartenente ad un'altra retta dovrei considerare solo
a(x-y)+b(x+y+2z)=0 quindi senza termini noti
determinare i valori di a,b e poi sostituirli in quella precedente
a(x-y-1)+b(x+y+2z-3)=0
trovando così il piano che mi interessa.
E' giusto così?
io ho sempre sostituito le coordinate del punto in
a(x-y-1)+b(x+y+2z-3)=0 considerando anche i termini noti,
e poi determinato i valori di a,b. Da quanto ho capito questo metodo è sbagliato mentre quello che mi hai illustrato è giusto...
Nel caso in cui devi imporre il passaggio per un punto è corretto il metodo che utilizzavi, cioè di sostituire le coordinate nell' equazione del fascio (non nell' equazione della giacitura), chiaro?
Se hai altri dubbi chiedi pure
Se hai altri dubbi chiedi pure
ok chiaro.... sono due cose diverse.
Però un altro dubbio mi assale...
ho l'esame venerdi!!!!
La distanza tra due piani paralleli TT e TT':
considero un punto P di TT e determino l'equazione della retta _|_ TT e passante per il punto P che sarà anche _|_ TT' essendo i due piani paralleli.
Poi determino l'intersezione tra la retta e il piano TT' trovando ad es. il punto Q.
A questo punto calcolo la distanza tra i due piani come distanza tra due punti : dist (P,Q)
Prometto che dopo questa non ti stresso più XD
[/tex]
sono due cose diverse.Però un altro dubbio mi assale...
ho l'esame venerdi!!!! La distanza tra due piani paralleli TT e TT':
considero un punto P di TT e determino l'equazione della retta _|_ TT e passante per il punto P che sarà anche _|_ TT' essendo i due piani paralleli.
Poi determino l'intersezione tra la retta e il piano TT' trovando ad es. il punto Q.
A questo punto calcolo la distanza tra i due piani come distanza tra due punti : dist (P,Q)
Prometto che dopo questa non ti stresso più XD
[/tex]
[OT]
in bocca al lupo
[/OT]
Un consiglio, cerca di usare le formule per rendere più leggibile ciò che scrivi.
Comunque non sono necessari i passaggi che hai fatto. Il procedimento è corretto, ma la distanza tra i due piani si può calcolare più velocemente:
Se conosci le coordinate di un punto [tex]P[/tex] del piano [tex]\pi[/tex], allora ti calcoli [tex]d(P,\pi')[/tex] tramite l' opportuna formula per la distanza punto-piano. Lo stesso risulato lo puoi ottenere se conosci un punto [tex]Q[/tex] del piano [tex]\pi'[/tex] e ti ricavi [tex]d(Q,\pi)[/tex]
"myrym":
ho l'esame venerdi!!!!
in bocca al lupo
[/OT]
Un consiglio, cerca di usare le formule per rendere più leggibile ciò che scrivi.
Comunque non sono necessari i passaggi che hai fatto. Il procedimento è corretto, ma la distanza tra i due piani si può calcolare più velocemente:
Se conosci le coordinate di un punto [tex]P[/tex] del piano [tex]\pi[/tex], allora ti calcoli [tex]d(P,\pi')[/tex] tramite l' opportuna formula per la distanza punto-piano. Lo stesso risulato lo puoi ottenere se conosci un punto [tex]Q[/tex] del piano [tex]\pi'[/tex] e ti ricavi [tex]d(Q,\pi)[/tex]
crepi
ti ringrazio davvero tanto !!!
Ho capito molte cose grazie a te
ti ringrazio davvero tanto !!!
Ho capito molte cose grazie a te
"myrym":
Ho capito molte cose grazie a te
E' un piacere
, di niente
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo