Distanza tra due rette
FIssato un riferimento ortonormale $ cc(R) = (O,B) $ nello spazio $ S3 $, si considerino le rette r ed s di equazioni
$ r:{ ( x-3z=0 ),( y+2z=1 ):} $
$ s:{ ( x=3t+2 ),( y=-2t-2 ),(z=t):} $
Si determini la distanza fra la retta r e la retta s
per prima cosa sono andato alla ricerca dei vettori di $ r $ imponendo $ z=t $
$ r:{ ( x=3t ),( y=-2t+1 ),(z=t):} $
quindi ho evidenziato il punto appartente a $ s $ , $ Ps(2, -2, 0) $ e ricavato il piano contenente $ r $, cioè $ 3x-2y+z+d $
per ricavare la $ d $ devo sostituire i punti di $ s $ all'equazione del fascio di $ r $:
$ 3(2)-2(-2)+z(0)=-d $
$ -d=6+4 $
$ d=-10 $
riscrivo l'equazione del piano $ 3x-2y+z-10=0$
a questo punto non mi resta che trovare il punto $ H $ poiché la distanza Punto-retta
metto a sistema l'equazione della retta e del piano($π∩r$), ricavo il punto H formato da $ (x,y,z) = (18/7, -5/7, -6/7) $, ora non mi resta che trovare la retta $ PsH $ che risulta essere $ (x,y,z) = (4/7, 9/7, -6/7) $ e la distanza $ d(Ps,r) = d(Ps,H) =$ $ sqrt((4/7)^2 + (9/7)^2 + (-6/7)^2) $
il risultato della distanza dovrebbe essere $sqrt(19/7)$
ognuno è libero di correggermi quando vuole
$ r:{ ( x-3z=0 ),( y+2z=1 ):} $
$ s:{ ( x=3t+2 ),( y=-2t-2 ),(z=t):} $
Si determini la distanza fra la retta r e la retta s
per prima cosa sono andato alla ricerca dei vettori di $ r $ imponendo $ z=t $
$ r:{ ( x=3t ),( y=-2t+1 ),(z=t):} $
quindi ho evidenziato il punto appartente a $ s $ , $ Ps(2, -2, 0) $ e ricavato il piano contenente $ r $, cioè $ 3x-2y+z+d $
per ricavare la $ d $ devo sostituire i punti di $ s $ all'equazione del fascio di $ r $:
$ 3(2)-2(-2)+z(0)=-d $
$ -d=6+4 $
$ d=-10 $
riscrivo l'equazione del piano $ 3x-2y+z-10=0$
a questo punto non mi resta che trovare il punto $ H $ poiché la distanza Punto-retta
metto a sistema l'equazione della retta e del piano($π∩r$), ricavo il punto H formato da $ (x,y,z) = (18/7, -5/7, -6/7) $, ora non mi resta che trovare la retta $ PsH $ che risulta essere $ (x,y,z) = (4/7, 9/7, -6/7) $ e la distanza $ d(Ps,r) = d(Ps,H) =$ $ sqrt((4/7)^2 + (9/7)^2 + (-6/7)^2) $
il risultato della distanza dovrebbe essere $sqrt(19/7)$
ognuno è libero di correggermi quando vuole
Risposte
"johnc":
Riscrivo l'equazione del piano $ \alpha : 3x-2y+z-10=0$
Mi sono preso la libertà di chiamare $ \alpha $ il piano da te trovato.
Sia $ R(0,1,0) \in S^3 $. È ovvio che $ R \in r\ $; d'altronde $ R \notin \alpha $. Quindi $ \alpha $ non può essere il piano cercato, perché non contiene $ r $.
L'errore che hai commesso è stato quello di affermare che i piani della forma $ \alpha_d: 3x-2y+z+d=0 $ sono paralleli ad $ r $: tali piani sono infatti ortogonali ad $ r $ e questo lo vedi interpretando l'equazione della giacitura di $ \alpha_d $ come un prodotto scalare tra il vettore di direzione di $ r $ di componenti $ ((3), (−2), (1)) $ rispetto a $ B $ e un generico vettore di componenti $ ((x),(y),(z)) $ rispetto a $ B $.
grazie mille per avermi risposto...per quanto riguarda la distanza delle due rette invece, se il mio ragionamento ha un po di falle, come vedi la mia risposta, ho commesso anche li qualche errore?
La prima domanda a cui devi rispondere per risolvere questo tipo di esercizi è:
(1) Qual è la posizione reciproca delle due rette?
(1) Qual è la posizione reciproca delle due rette?
direi subito che sono parallele
Bene.
(2) Qual è la formula della distanza tra due rette parallele?
(2) Qual è la formula della distanza tra due rette parallele?
dovrebbe essere la distanza tra due punti
$ sqrt( (x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2 )$
$ sqrt( (x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2 )$
Sicuro?
si, non altre fonti che mi dicano il contrario...
Siano \( R_1, R_2 \in r \) e \( S_1, S_2 \in s \).
Calcola le seguenti distanze:
\[ d(R_1, S_1) \qquad \qquad \text{e} \qquad \qquad d(R_2, S_2) \]
(ovviamente scegli tu le coordinate da assegnare ai punti richiesti)
Calcola le seguenti distanze:
\[ d(R_1, S_1) \qquad \qquad \text{e} \qquad \qquad d(R_2, S_2) \]
(ovviamente scegli tu le coordinate da assegnare ai punti richiesti)
Nello spazio sempre?
Mi sembra ovvio, dato che ti ho detto esplicitamente che i punti da scegliere sono di $ r $ oppure di $ s $.
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