Distanza tra 2 rette sghembe
Ho un esercizio che non mi torna; trovare la minima distanza tra 2 rette sghembe:
per risolverlo ocorre trovare il piano (l'unico in realtà) parallelo a una delle 2 rete e complanare all'altra. La distanza tra un generico punto della retta parallela al piano e il piano sarà la distanza minima cercata.
Perdonate eventuale mia mancanza di formalità nel definire le 2 rette:
r di equazioni:
x=-2t
y=-1-t
z=1-t
s di equazione (cartesiana):
y-z=-1
2x-y-z = 0
Prendo s come asse del fascio di piano e ottengo: h(y-z+1)+k(2x-y-z)=0
sostituisco al fascio di piani il vettore direttore di r (-2,-1,-1) al fine di imporre la condizione di parallelismo e ottengo h=2 , k=1.
Sostituisco e ottengo il piano 2x+y-3z+2 = 0
Qui c'è il problema: se verifico il vettore direttore della retta r (-2,-1,-1) con i parametri di giacitura del piano (2,1,-3), con un prodotto scalare dovrei ottenere 0 e invece mi ritorna -2. Ho provato piu' volte ma ottengo sempre lo stesso risultato. Cosa sbaglio?
per risolverlo ocorre trovare il piano (l'unico in realtà) parallelo a una delle 2 rete e complanare all'altra. La distanza tra un generico punto della retta parallela al piano e il piano sarà la distanza minima cercata.
Perdonate eventuale mia mancanza di formalità nel definire le 2 rette:
r di equazioni:
x=-2t
y=-1-t
z=1-t
s di equazione (cartesiana):
y-z=-1
2x-y-z = 0
Prendo s come asse del fascio di piano e ottengo: h(y-z+1)+k(2x-y-z)=0
sostituisco al fascio di piani il vettore direttore di r (-2,-1,-1) al fine di imporre la condizione di parallelismo e ottengo h=2 , k=1.
Sostituisco e ottengo il piano 2x+y-3z+2 = 0
Qui c'è il problema: se verifico il vettore direttore della retta r (-2,-1,-1) con i parametri di giacitura del piano (2,1,-3), con un prodotto scalare dovrei ottenere 0 e invece mi ritorna -2. Ho provato piu' volte ma ottengo sempre lo stesso risultato. Cosa sbaglio?
Risposte
il vettore direttore di r è in effetti un vettore che va dall'origine al punto (-2,-1,-1); non ha senso determinare il piano del fascio che passa per quel punto.
Devi invece imporre che sia nullo il prodotto scalare fra il vettore direttore della retta r e i parametri di giacitura di un generico piano del fascio.( devi trovare il piano: y-z+1=0).
Devi invece imporre che sia nullo il prodotto scalare fra il vettore direttore della retta r e i parametri di giacitura di un generico piano del fascio.( devi trovare il piano: y-z+1=0).
cioè ad esempio il vettore 1,-1,-1 potrei utilizzarlo come vettore direttore per risolvere l'esecizio?
il vettore (1,-1,-1) ,che hai ricavato dal piano y-z+1=0,non ha nessun significato; il vettore di giacitura di quel piano
è (0,1,-1).
Se svolgiamo l'equazione del fascio di piani otteniamo l'equazione di un generico piano del fascio:
\[ 2kx+y(h-k)+z(-h-k)+h=0 \]
Affinché questo piano sia parallelo alla r, deve essere nullo il prodotto scalare dei parametri di giacitura del piano
[2k,h-k,-h-k] con i parametri di r (-2,-1,-1): da questa equazione ricavi: k=0 e y+z+1=0 e quest'ultimo è appunto il
piano del fascio parallelo alla retta r.
è (0,1,-1).
Se svolgiamo l'equazione del fascio di piani otteniamo l'equazione di un generico piano del fascio:
\[ 2kx+y(h-k)+z(-h-k)+h=0 \]
Affinché questo piano sia parallelo alla r, deve essere nullo il prodotto scalare dei parametri di giacitura del piano
[2k,h-k,-h-k] con i parametri di r (-2,-1,-1): da questa equazione ricavi: k=0 e y+z+1=0 e quest'ultimo è appunto il
piano del fascio parallelo alla retta r.
C'è un altro metodo che personalmente ritengo più lineare rispetto a quello che usa i fasci di piani.
Siano :
(1) $ P \equiv(2t,-1-t,1-t),Q\equiv(u-1/2,u-1,u)$
rispettivamente il punto generico di r e quello generico di s.
Inoltre siano :
$vec(v_r)= (2,-1,-1) ,vec(v_s)=(1,1,1)$ i vettori direzionali di r ed s rispettivamente.
Imponiamo che il vettore : $ vec{P-Q}=(2t-u+1/2,-t-u,1-t-u) $ sia ortogonale a $vec{v_r}$ e a $vec{v_s}$:
\(\displaystyle \begin{cases}(2t-u+\frac{1}{2},-t-u,1-t-u) \cdot (2,-1,-1) =0\\(2t-u+\frac{1}{2},-t-u,1-t-u) \cdot (1,1,1)=0 \end{cases} \)
Con facili calcoli si ha il sistema :
\(\displaystyle \begin{cases} 6t=0\\-3u+3/2=0 \end{cases} \)
da cui: $t=0,u=1/2$
Sostituendo tali valori nelle (1) si ha :
$ P \equiv(0,-1,1),Q\equiv(0,-1/2,1/2)$
e quindi la distanza richiesta è :
$bar{PQ)={sqrt2 }/2$
Siano :
(1) $ P \equiv(2t,-1-t,1-t),Q\equiv(u-1/2,u-1,u)$
rispettivamente il punto generico di r e quello generico di s.
Inoltre siano :
$vec(v_r)= (2,-1,-1) ,vec(v_s)=(1,1,1)$ i vettori direzionali di r ed s rispettivamente.
Imponiamo che il vettore : $ vec{P-Q}=(2t-u+1/2,-t-u,1-t-u) $ sia ortogonale a $vec{v_r}$ e a $vec{v_s}$:
\(\displaystyle \begin{cases}(2t-u+\frac{1}{2},-t-u,1-t-u) \cdot (2,-1,-1) =0\\(2t-u+\frac{1}{2},-t-u,1-t-u) \cdot (1,1,1)=0 \end{cases} \)
Con facili calcoli si ha il sistema :
\(\displaystyle \begin{cases} 6t=0\\-3u+3/2=0 \end{cases} \)
da cui: $t=0,u=1/2$
Sostituendo tali valori nelle (1) si ha :
$ P \equiv(0,-1,1),Q\equiv(0,-1/2,1/2)$
e quindi la distanza richiesta è :
$bar{PQ)={sqrt2 }/2$
"CS_79":
per risolverlo ocorre trovare il piano (l'unico in realtà) parallelo a una delle 2 rete e complanare all'altra. La distanza tra un generico punto della retta parallela al piano e il piano sarà la distanza minima cercata.
il mio esercitatore ci aveva detto
un metodo è quello di calcolare un'equazione cartesiana di un piano $\pi$ che passa per una delle 2 rette ed è parallelo all'altra. Così ci ricodunciamo alla distanza punto-piano.
lo faceva con i prodotti scalari!
ti metto qua il suo esempio
$ r_1: ((x),(y),(z))=((0),(1),(1))+t((1),(-1),(2)), r_2: ((x),(y),(z))=((0),(-1),(1))+s((1),(1),(1)) $
ok il piano ha vettore normale $ ul(v)=((-3),(1),(2)) $
(come ha fatto a trovarlo?) così
$ <((1),(-1),(2))\cdot ((a),(b),(c)) > =0 \to a-b+2c=0$
$ <((1),(1),(1))\cdot ((a),(b),(c)) > =0 \to a+b+c=0 $
risolvi il sistema
$ { ( a-b+2c=0 ),( a+b+c=0 ):}\to ... { ( a=-3b ),( c=2b ):} $
e trovi $ Span\{((-3),(1),(2))\} $
ok quindi l'equazione del piano è $ -3x+y+2z+d=0 $
facciamo che su quel piano stia la retta 2, quindi $ P=(0,-1,1)^t \in r_2 $
quindi si ha $ 0-1+2+d=0\to d=-1 $
il piano cercato è $ -3x+y+2z-1=0 $
ok ora prendiamo un punto di $r_1$ per esempio $ q=(0,1,1)^t $ e appllichiamo la formula della distanza punto-piano
$ d(\pi, q)=(|0+1+2-1|)/(\sqrt{(-3)^2+1+2^2})=(2)/(\sqrt{14}) $
Prova a farlo sulle tue 2 rette
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