Distanza punto retta

[A.l.e.c.s]

Determinare nello spazio euclideo la distanza dell’origine dalla retta \(\displaystyle r \) di equazioni \(\displaystyle x − 3z − 10 = y − 2z −6 = 0 \)

per trovare la distanza punto retta mi trovo il punto di intersezione \(\displaystyle Q \) tra la retta \(\displaystyle r \) e il piano \(\displaystyle \alpha \) perpendicolare alla retta \(\displaystyle r \) e passante per il punto \(\displaystyle P \)..poi mi trovo la distanza da \(\displaystyle Q \) a \(\displaystyle P \)..Il piano \(\displaystyle \alpha \) me lo trovo con il fascio di piani \(\displaystyle \lambda(x - x_0) + \mu(y - y_0) +\nu( z - z_0) \) passanti per \(\displaystyle P = ( 0 , 0 , 0 ) \) con \(\displaystyle \lambda = 3 \) \(\displaystyle \mu = 2 \) e \(\displaystyle \nu = 1 \)..il problema che incontro è che non so come fare a trovarmi l'intersezione del piano con la retta..può sembrare una banalità..ma visto che la retta è descritta da due piani e l'intersezione ci deve essere con uno solo..come si fa a trovare dove si incontrano?Grazie

[mistake89]

intersechi tutti e 3 i piani. Otterrai così un punto, che è quello che cerchi.

[totissimus]

Riscrivi le equazioni della retta r:
\( \begin{cases}
x=3z+10\\
y=2z+6
\end{cases}\)

Il vettore \( v=(3,2,1)\) è parallelo alla retta r.

Sia \( H=(3\alpha+10,2\alpha+6,\alpha)\) il piede della perpendicolare dall'origine alla retta r, i vettori \(v\) e \( OH\) devono essere ortogonali dunque:
\( 3(3\alpha+10)+2(2\alpha+6)+\alpha=0\) da cui \( \alpha =-3\), \( H=(1,0,-3)\), \( PH=\sqrt{10}\)