Distanza punto-retta
mi aiutate con questo esercizio? determinare la distanza tra il punto A(2,1,1) e la retta r:$ { (x+2z=1 ),( y+z=-1 ):} $
Risposte
Ci sono diversi modi per affrontare questo problema. Quello più semplice, almeno secondo me, è questo:
La retta, in equazioni parametriche, è
\[ r: \begin{cases} x = t \\ y = - \frac{3}{2} + \frac{t}{2} \\ z = \frac{1}{2} - \frac{t}{2} \end{cases} \]
Quindi, il suo vettore direttore è [tex]\vec v = \left (1, \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} \right )[/tex]. Possiamo prendere un suo multiplo (la direzione non cambia) per semplificarci i conti: [tex]\vec w = (2, 1, -1)[/tex].
Un generico punto $P \in r $ è della forma [tex]P \left (t, - \frac{3}{2} + \frac{t}{2}, \frac{1}{2} - \frac{t}{2} \right )[/tex]. Scriviamo lo spazio dei vettori della forma [tex]\vec {AP}[/tex], cioè [tex]\left (t-2, - \frac{3}{2} + \frac{t}{2} - 1, \frac{1}{2} - \frac{t}{2} - 1 \right )[/tex] , e cerchiamone uno tale che [tex]\vec {AP} \cdot \vec w = 0[/tex], cioè tale che la sua direzione sia ortogonale a quella della retta $r$. Otteniamo, dal prodotto scalare uguale a $0$, che $t = 2$. Quindi, il punto che ci interessa è [tex]P_{ort} = \left ( 2, - \frac{1}{2}, -\frac{1}{2} \right )[/tex] .
Calcolando la distanza fra [tex]P_{ort}[/tex] e $A$ otteniamo la distanza fra la retta e il punto $A$, che è $ \frac{3 \sqrt{2}}{2} $.
In alternativa, puoi cercare un piano ortogonale alla retta $r$ e passante per $A$. La distanza tra il punto di intersezione tra $r$ e il piano trovato e il punto $A$ sarà la distanza tra la retta e il punto $A$.
La retta, in equazioni parametriche, è
\[ r: \begin{cases} x = t \\ y = - \frac{3}{2} + \frac{t}{2} \\ z = \frac{1}{2} - \frac{t}{2} \end{cases} \]
Quindi, il suo vettore direttore è [tex]\vec v = \left (1, \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} \right )[/tex]. Possiamo prendere un suo multiplo (la direzione non cambia) per semplificarci i conti: [tex]\vec w = (2, 1, -1)[/tex].
Un generico punto $P \in r $ è della forma [tex]P \left (t, - \frac{3}{2} + \frac{t}{2}, \frac{1}{2} - \frac{t}{2} \right )[/tex]. Scriviamo lo spazio dei vettori della forma [tex]\vec {AP}[/tex], cioè [tex]\left (t-2, - \frac{3}{2} + \frac{t}{2} - 1, \frac{1}{2} - \frac{t}{2} - 1 \right )[/tex] , e cerchiamone uno tale che [tex]\vec {AP} \cdot \vec w = 0[/tex], cioè tale che la sua direzione sia ortogonale a quella della retta $r$. Otteniamo, dal prodotto scalare uguale a $0$, che $t = 2$. Quindi, il punto che ci interessa è [tex]P_{ort} = \left ( 2, - \frac{1}{2}, -\frac{1}{2} \right )[/tex] .
Calcolando la distanza fra [tex]P_{ort}[/tex] e $A$ otteniamo la distanza fra la retta e il punto $A$, che è $ \frac{3 \sqrt{2}}{2} $.
In alternativa, puoi cercare un piano ortogonale alla retta $r$ e passante per $A$. La distanza tra il punto di intersezione tra $r$ e il piano trovato e il punto $A$ sarà la distanza tra la retta e il punto $A$.
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