Distanza punto-piano
Credo di fare il procedimento esatto, ma non viene.
Dato un punto C appartenente a r tale che d(C, π)=d(A, r)=10
$r: (x,y,z)=(2,1,0)+µ(0,-4/3,1)$
$π: x-2=0$
Data la premessa, ricavo un generico C dall'equazione di r e lo applico nella formula della distanza d(C, H) dove H è un iperpiano, che in questo caso corrisponde al piano π, appunto. $C(2,1-4/3µ,µ)$
Il problema è che in questo modo il numeratore della formula della distanza mi viene uguale a 0, il che è impossibile, risultando 10=0.
Cosa ho sbagliato?
Dato un punto C appartenente a r tale che d(C, π)=d(A, r)=10
$r: (x,y,z)=(2,1,0)+µ(0,-4/3,1)$
$π: x-2=0$
Data la premessa, ricavo un generico C dall'equazione di r e lo applico nella formula della distanza d(C, H) dove H è un iperpiano, che in questo caso corrisponde al piano π, appunto. $C(2,1-4/3µ,µ)$
Il problema è che in questo modo il numeratore della formula della distanza mi viene uguale a 0, il che è impossibile, risultando 10=0.
Cosa ho sbagliato?
Risposte
Se i calcoli son giusti vuol dire che non esiste alcun punto su quella retta che abbia tale distanza!
Il problema è che il punto ci DEVE essere e inoltre sarebbe un assurdo 0=10.
Ok allora c'è qualche errore. Nella traccia fai riferimento ad un punto $A$. Chi è?
Inoltre $0=10$, che è un assurdo, ti dice che questo punto non c'è.
Per come è impostato il calcolo al numeratore l'unica coordinata del punto interessato è la $x$. Ma $x$ per appartenere ad $r$ deve essere uguale a $2$. Non ci piove. Quindi a meno di errori nella traccia, quel punto non esiste. Perchè dovrebbe per forza?
Inoltre $0=10$, che è un assurdo, ti dice che questo punto non c'è.
Per come è impostato il calcolo al numeratore l'unica coordinata del punto interessato è la $x$. Ma $x$ per appartenere ad $r$ deve essere uguale a $2$. Non ci piove. Quindi a meno di errori nella traccia, quel punto non esiste. Perchè dovrebbe per forza?
Il punto A l'ho usato in una domanda per determinare appunto la distanza d(A,r). $A(2,-5,-8)$
Il punto C ci deve essere, perchè nell'esercizio che sto svolgendo chiede anche di trovare l'area di un triangolo, di cui C è un vertice, quindi esiste e non ci piove, considerando che il piano è giusto, l'unica spiegazione è che la retta r sia sbagliata.
Allora vediamo se la retta r è giusta. Di r si sa che è contenuta nel piano $§: -4y+3z+4=0$ e ortogoanle e incidente in M(2,1,0) con la retta $s: (x,y,z)=(2,1,0) + µ(0,3/4,1)$. Come si può notare, anche la retta s si trova nello stesso piano.
Per trovare r ho la seguente operazione (P-M)(0,3/4,1)=0, con P(x,y,z) punto qualunque. In sostanza, ho preso la giacitura parallela della retta e moltiplicata per un vettore (P-M), che suppongo sia giacitura ortogonale, imponendo che fosse uguale zero.
Così come è spiegato nella teoria.
Il punto C ci deve essere, perchè nell'esercizio che sto svolgendo chiede anche di trovare l'area di un triangolo, di cui C è un vertice, quindi esiste e non ci piove, considerando che il piano è giusto, l'unica spiegazione è che la retta r sia sbagliata.
Allora vediamo se la retta r è giusta. Di r si sa che è contenuta nel piano $§: -4y+3z+4=0$ e ortogoanle e incidente in M(2,1,0) con la retta $s: (x,y,z)=(2,1,0) + µ(0,3/4,1)$. Come si può notare, anche la retta s si trova nello stesso piano.
Per trovare r ho la seguente operazione (P-M)(0,3/4,1)=0, con P(x,y,z) punto qualunque. In sostanza, ho preso la giacitura parallela della retta e moltiplicata per un vettore (P-M), che suppongo sia giacitura ortogonale, imponendo che fosse uguale zero.
Così come è spiegato nella teoria.
Preferisco lavorare geometricamente io. Prendo il piano perpendicolare ad $s$ per $M$, che dovrebbe essere $3y+4z-3=0$. La retta $r$ è $\{(3y+4z-3=0),(-4y+3z+4=0):}$ cioè $\{(y=1),(z=0):}$. Quindi i suoi parametri di direzione sono $(mu,0,0)$ con $mu ne 0$.
Ora prendi un punto con coordinate $(x_0,1,0)$ e dovresti poter terminare l'esercizio.
Ora prendi un punto con coordinate $(x_0,1,0)$ e dovresti poter terminare l'esercizio.
Sei sicuro che la retta sia effettivamente giusta? Come l'hai ricavata?
Effettivamente, essendo nello spazio, mi mancava la seconda equazione della retta. Da dove viene fuori?
Effettivamente, essendo nello spazio, mi mancava la seconda equazione della retta. Da dove viene fuori?
Beh te l'ho scritto. La retta giacerà sul piano che ti assegnano che chimiamo $pi$.
Inoltre deve essere perpendicolare ed incidente alla retta $s$ in $M$, allora sicuramente giacerà sul piano per $M$ perpendicolare ad $s$ (luogo dove risiedono tutte le rette perpendicolari ad $s$ per $M$), detto $alpha$. Allora la nostra retta sarà contenuta (e per la dimensione sarà uguale) all'intersezione $pi nn alpha$. Prova a verificare tu se è davvero quella cercata!
Inoltre deve essere perpendicolare ed incidente alla retta $s$ in $M$, allora sicuramente giacerà sul piano per $M$ perpendicolare ad $s$ (luogo dove risiedono tutte le rette perpendicolari ad $s$ per $M$), detto $alpha$. Allora la nostra retta sarà contenuta (e per la dimensione sarà uguale) all'intersezione $pi nn alpha$. Prova a verificare tu se è davvero quella cercata!
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