Distanza minima tra un punto e una retta

[ludwigZero]

salve
ho un punto $(0,0,0)$ e una retta $r$
$x+y-1=0$
$2x-z=0$

devo trovare distanza minima.

parametrizzo la retta
$x=1-y=1-t$
$y=t$
$z=2x=2-2y=2-2y$

ne faccio la distanza
$d=sqrt((1-t)^2 +t^2 + (2-2t)^2)=sqrt(6t^2 -10t + 5)$

ora non ho ben compreso se per avere il minimo radicando bisogna porre $t=0$, potete confermare?

[ludwigZero]

a questo punto dovrei fare la derivata prima di
$(6t^2 - 10 t + 5)$ e porla uguale a 0 (minimizzandola)
dunque trovare per quale $t*$ è minimo?

il fatto è che....usare derivate prime in un compito di algebra lineare e geometria mi sembra un azzardo [per come è il mio prof...]

[ludwigZero]

ho trovato un altro metodo (che pare essere quello del mio prof) però non mi viene il risultato tuo...
prendo un punto (qualsiasi) dela retta di partenza
$P(0,1,0)$

proiezione del vettore distanza sulla normale alla retta passante per il punto scelto, quindi....
trovato la formula sul libro, pare che a detta del prof sia la più pulita possibile xD
però non riesco a trovarmi nel risultato con te

$|(P-O) - ((P-0)*(V_r))/(V_r)^2 (V_r)|$

ovvero:
$|(0,1,0) - ((0,1,0)*(1,-1,1))/(1+1+1) (1,-1,1)= |(0,1,0)+1/3 (1,-1,1)| = |(1/3,-1/3 +1,1/3)| = |1/9 +4/9 +1/9| =sqrt(6/9) = sqrt(2/3)$

cos è che non va?

[ludwigZero]

mentre scrivevi tu mi sa che ho mandato il nuovo post editato, puoi dargli un occhiata? credo che sia diverso dalla formula che ho trovato io nel libro anche se preferisco la tua sinceramente...

[ludwigZero]

non capisco il perchè però numericamente non viene il risultato da te riportato!
alla fine pare sia un corollario di gram-smidth
grazie per il tempo dedicatomi in questo post.