Distanza minima tra due vettori
Buonasera a tutti.
Tra pochi giorni dovrò sostenere l'esame di Analisi 1 (contenente anche esercizi su matrici e vettori) e sto riguardando i vari esercizi dati dal professore nelle prove precedenti.
Mi sono imbattuta in un esercizio che proprio non riesco a risolvere.. non so nemmeno da dove partire.
Dati i vettori x = $[$x_1$ $x_2$ $x_3$]^T$ e y($\alpha$) = $[-1 -1 -1]^T$ con $\alpha$ $in$ $RR$
determinare il valore di $\alpha$ che rende minima la distanza fra il vettore x e il vettore y($\alpha$)
Ho provato a mettere i due vettori a sistema, ma penso abbia fatto una grande cavolata...
Grazie mille in anticipo per l'aiuto!
Tra pochi giorni dovrò sostenere l'esame di Analisi 1 (contenente anche esercizi su matrici e vettori) e sto riguardando i vari esercizi dati dal professore nelle prove precedenti.
Mi sono imbattuta in un esercizio che proprio non riesco a risolvere.. non so nemmeno da dove partire.
Dati i vettori x = $[$x_1$ $x_2$ $x_3$]^T$ e y($\alpha$) = $[-1 -1 -1]^T$ con $\alpha$ $in$ $RR$
determinare il valore di $\alpha$ che rende minima la distanza fra il vettore x e il vettore y($\alpha$)
Ho provato a mettere i due vettori a sistema, ma penso abbia fatto una grande cavolata...
Grazie mille in anticipo per l'aiuto!
Risposte
C'è qualcosa che non va... nella definizione di $y(\alpha)$ non compare $\alpha$ 
In che senso nella definizione?
Ho riportato il testo dell'esercizio esattamente così com'è scritto nella prova...
Ho riportato il testo dell'esercizio esattamente così com'è scritto nella prova...
Nel senso che se poni $\alpha=0$, il vettore $y$ è $[-1 \ \ -1 \ \ -1]^T$, e se poni $\alpha=1$, il vettore $y$ è ancora $[-1 \ \ -1 \ \ -1]^T$. Quindi al variare di $\alpha\in\mathbb{R}$ non cambia la distanza tra $x$ e $y$, e di conseguenza non ha senso chiedere "per quale $\alpha$ la distanza tra $x$ e $y$ è minima?".
Chiedo scusa... ho chiesto ad un compagno di corso e manca un asterisco.
Sarebbe "determinare il valore $\alpha$* di $\alpha$ che rende minima la distanza fra x e y($\alpha$)"
Ha senso così o il discorso è sempre lo stesso?
Sarebbe "determinare il valore $\alpha$* di $\alpha$ che rende minima la distanza fra x e y($\alpha$)"
Ha senso così o il discorso è sempre lo stesso?
E' sempre lo stesso... il problema sta nella definizione di $y$. Anziché $y=[-1 \ \ -1 \ \ -1]^T$ dovrebbe essere qualcosa del tipo $y=[-1 \ \ -1 \ \ -\alpha]^T$. Non è detto che sia proprio così, però il succo è che quando definisci $y$, deve comparire $alpha$.
Oh, okay, ora è più chiaro.
E nel caso chiedesse semplicemente di calcolare la distanza tra due vettori? Come procedo?
E nel caso chiedesse semplicemente di calcolare la distanza tra due vettori? Come procedo?
La distanza euclidea tra due vettori $x=[x_1 \ \ x_2 \ \ x_3]^T$ e $y=[y_1 \ \ y_2 \ \ y_3]^T$ è definita come
\[
\|x-y\|=\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+(x_3-y_3)^2}.
\]
\[
\|x-y\|=\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+(x_3-y_3)^2}.
\]
Grazie mille!
Figurati! 
Ritorno sull'argomento!
Come si dovrebbe procedere, per calcolare sempre il valore di $\alpha$ per la distanza minima, se invece il vettore y fosse: y($\alpha$) = $\alpha$$[-1 -1 -1]^T$ ?
Come si dovrebbe procedere, per calcolare sempre il valore di $\alpha$ per la distanza minima, se invece il vettore y fosse: y($\alpha$) = $\alpha$$[-1 -1 -1]^T$ ?
In questo caso la distanza tra $x$ e $y(\alpha)$ sarebbe
\[
\sqrt{(x_1+\alpha)^2+(x_2+\alpha)^2+(x_3+\alpha)^2},
\]
che è minima se e solo se è minima la quantità
\[
f(\alpha)=(x_1+\alpha)^2+(x_2+\alpha)^2+(x_3+\alpha)^2.
\]
Io farei la derivata di $f$ rispetto ad $\alpha$ per trovare il punto di minimo assoluto (che esiste dato che $f$ è non negativa e $\lim_{\alpha\to \pm\infty}f(\alpha)=+\infty$).
\[
\sqrt{(x_1+\alpha)^2+(x_2+\alpha)^2+(x_3+\alpha)^2},
\]
che è minima se e solo se è minima la quantità
\[
f(\alpha)=(x_1+\alpha)^2+(x_2+\alpha)^2+(x_3+\alpha)^2.
\]
Io farei la derivata di $f$ rispetto ad $\alpha$ per trovare il punto di minimo assoluto (che esiste dato che $f$ è non negativa e $\lim_{\alpha\to \pm\infty}f(\alpha)=+\infty$).
Okay, benissimo.
Ultima domanda: qual è il significato geometrico del vettore $\y$($\alpha$*) ?
Ultima domanda: qual è il significato geometrico del vettore $\y$($\alpha$*) ?
E' la proiezione del vettore $x$ sulla retta
\[
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
z
\end{bmatrix}
=t
\begin{bmatrix}
1 \\
1 \\
1
\end{bmatrix}.
\]
\[
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
z
\end{bmatrix}
=t
\begin{bmatrix}
1 \\
1 \\
1
\end{bmatrix}.
\]
Grazie mille di nuovo!!
Figurati
mi intrometto....
come si fa questo esercizio?
Dati i quattro punti P1(1,1,-1) P2(1/2,0,1/2)P3(0,1/2,1/2)P4(-1,-1,3)
B 3.1- verificare che appartengono ad un unico piano.

B 3.2- calcolare l! equazione del suddetto piano.
B 3.3 - Sempre in riferimento ai punti P1 , P2, P3 precedenti e al punto
P4(-1,-1,k) scrivere i vettori P2P1, P2P3 P2P4, verificando che per k = 3 sono complanari.
come si fa questo esercizio?
Dati i quattro punti P1(1,1,-1) P2(1/2,0,1/2)P3(0,1/2,1/2)P4(-1,-1,3)
B 3.1- verificare che appartengono ad un unico piano.

B 3.2- calcolare l! equazione del suddetto piano.
B 3.3 - Sempre in riferimento ai punti P1 , P2, P3 precedenti e al punto
P4(-1,-1,k) scrivere i vettori P2P1, P2P3 P2P4, verificando che per k = 3 sono complanari.
INOLTRE CHIEDE...
B 3.4- Per k = 3 scrivere l! equazione (vettoriale) del piano che li contiene.
B 3.5- Scrivere l! equazione del piano parallelo al piano precedente e passante per
P4 (-1,-1,k)
B 3.4- Per k = 3 scrivere l! equazione (vettoriale) del piano che li contiene.
B 3.5- Scrivere l! equazione del piano parallelo al piano precedente e passante per
P4 (-1,-1,k)
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