Distanza minima dei punti da una retta orizzontale
Ciao a tutti,
ho un incertezza sul quesito in oggetto e non riesco a uscirne... mi sembra tutto sensato ma trovo un controesempio che mi smonta
Supponiamo che io abbia una serie di punti in input e che debba trovare la retta orizzontale $ y=y_0 $ che minimizzi la distanza totale dei punti da questa retta..
Ora, io l'ho vista come un
$ \sum_{k=1}^N |y_n - y| $
e l'ho trasformata in una sommatoria di quadrati per cui derivando e semplificando alla fine della fiera esco con questo risultato
$ y = ( y_1 + y_2 + ... + y_N ) / N $
ossia la media dei valori dei punti, che non mi sembra neppure così sbagliato ed era quella che avrei dato d'istinto.
Ora però mi sono fatto un paio di esempi... e mi sono schiantato proprio sul primo
Se i miei punti hanno ordinate 0, 3 e 3, faccio la media e trovo che la retta ha valore 2 <- $ (0+3+3)/3 $
Calcolando la distanza di quei punti dalla retta ottengo:
Primo punto: $ |0-2| = 2 $
Secondo punto: $ |3 - 2| = 1 $
Terzo punto: $ |3 - 2| = 1 $
Per cui la loro distanza totale è $ 2 +1 +1 =4 $
Ma se prendo la retta $ y= 3 $ ... Mi trovo che la distanza totale a questo punto è uguale a $ 3 $ (dovuta unicamente al primo punto..)
Perchè??
Dove sto sbagliando?
ho un incertezza sul quesito in oggetto e non riesco a uscirne... mi sembra tutto sensato ma trovo un controesempio che mi smonta
Supponiamo che io abbia una serie di punti in input e che debba trovare la retta orizzontale $ y=y_0 $ che minimizzi la distanza totale dei punti da questa retta..
Ora, io l'ho vista come un
$ \sum_{k=1}^N |y_n - y| $
e l'ho trasformata in una sommatoria di quadrati per cui derivando e semplificando alla fine della fiera esco con questo risultato
$ y = ( y_1 + y_2 + ... + y_N ) / N $
ossia la media dei valori dei punti, che non mi sembra neppure così sbagliato ed era quella che avrei dato d'istinto.
Ora però mi sono fatto un paio di esempi... e mi sono schiantato proprio sul primo
Se i miei punti hanno ordinate 0, 3 e 3, faccio la media e trovo che la retta ha valore 2 <- $ (0+3+3)/3 $
Calcolando la distanza di quei punti dalla retta ottengo:
Primo punto: $ |0-2| = 2 $
Secondo punto: $ |3 - 2| = 1 $
Terzo punto: $ |3 - 2| = 1 $
Per cui la loro distanza totale è $ 2 +1 +1 =4 $
Ma se prendo la retta $ y= 3 $ ... Mi trovo che la distanza totale a questo punto è uguale a $ 3 $ (dovuta unicamente al primo punto..)
Perchè??
Dove sto sbagliando?
Risposte
Ciao, innanzitutto ti rimando ad un link che potrebbe essere interessante, anche se non prettamente utile alla risoluzione del tuo problema:
https://it.wikipedia.org/wiki/Metodo_de ... i_quadrati
Non mi sono ben chiare un po' di cose nel tuo problema, dal fatto che tu consideri solo rette orizzontali (e non nella loro forma più generale y=mx+q) al fatto che minimizzi la distanza sulle y, e non la distanza in generale. Comunque supporrò che stiamo parlando di $\mathbb{R}^2$, e che vogliamo minimizzare la distanza sulle y.
Dunque supponi di avere una serie di punti:
${(x_1,y_1), (x_2,y_2) .... (x_n, y_n)}$
e di voler trovare la retta:
$y=c$
tale che $c\in \mathbb{R}$ minimizzi la quantità:
$\sum_(i=0)^n \sqrt((c-y_i)^2) = \sum_(i=0)^n |c-y_i|$
non capisco bene come tu l'abbia trasformata in una sommatoria di quadrati. Probabilmente ho capito male io. Nel caso non mi sia sbagliato, prova a derivare e a vedere cosa viene.
https://it.wikipedia.org/wiki/Metodo_de ... i_quadrati
Non mi sono ben chiare un po' di cose nel tuo problema, dal fatto che tu consideri solo rette orizzontali (e non nella loro forma più generale y=mx+q) al fatto che minimizzi la distanza sulle y, e non la distanza in generale. Comunque supporrò che stiamo parlando di $\mathbb{R}^2$, e che vogliamo minimizzare la distanza sulle y.
Dunque supponi di avere una serie di punti:
${(x_1,y_1), (x_2,y_2) .... (x_n, y_n)}$
e di voler trovare la retta:
$y=c$
tale che $c\in \mathbb{R}$ minimizzi la quantità:
$\sum_(i=0)^n \sqrt((c-y_i)^2) = \sum_(i=0)^n |c-y_i|$
non capisco bene come tu l'abbia trasformata in una sommatoria di quadrati. Probabilmente ho capito male io. Nel caso non mi sia sbagliato, prova a derivare e a vedere cosa viene.
Ciao, grazie per il link, mi sa che potrebbe essermi decisamente utile 
Allora, la retta orizzontale é uno dei vincoli del mio problema (motivo per cui minimizzo solo la distanza sulle y, so già che il punto della retta meno distante da un dato punto ne condividerà l'ascissa)
Il mio pensiero era stato questo, se riesci ad aiutarmi a trovare la falla te ne sarei grato, perché io sto uscendoci pazzo..
Voglio minimizzare questa funzione di distanza:
$ \sum_{k=0}^N \sqrt( (x-x_k)^2 + (y-y_k)^2 ) $
per il vincolo della retta orizzontale, equivale a dire
$ \sum_{k=0}^N \sqrt( (y-y_k)^2 ) $
ora, visto che la radice quadrata é monotona crescente, minimizzare la radice equivale a minimizzarne l'argomento <-- e ora che lo scrivo mi rendo conto che perç potrebbe non essere proprio così... :/
Comunque, a quel punto rimango che voglio trovare il valore minimo di y per cui
$ \sum_{k=0}^N ((y-y_k)^2 ) $
e scrivendola per esplicito ricavo:
$ y^2 - 2y_0y + y_0^2 + y^2 - 2y_1y + y_1^2 + ... + y^2 - 2y_Ny + y_N^2 $
e derivando e imponendo la derivata a 0:
$ 2y -2y_0 + 2y -2y_1 + ... + 2y -2y_N = 0 $
Da cui
$ 2Ny=2(y_0+y_1+...y_N) $ e dividendo per 2N ambo i membri ottengo che il punto di minimo é
$ y = (y_0+y_1+...y_N)/N $
che é la media delle ordinate... che però é errato -.-'
Allora, la retta orizzontale é uno dei vincoli del mio problema (motivo per cui minimizzo solo la distanza sulle y, so già che il punto della retta meno distante da un dato punto ne condividerà l'ascissa)
Il mio pensiero era stato questo, se riesci ad aiutarmi a trovare la falla te ne sarei grato, perché io sto uscendoci pazzo..
Voglio minimizzare questa funzione di distanza:
$ \sum_{k=0}^N \sqrt( (x-x_k)^2 + (y-y_k)^2 ) $
per il vincolo della retta orizzontale, equivale a dire
$ \sum_{k=0}^N \sqrt( (y-y_k)^2 ) $
ora, visto che la radice quadrata é monotona crescente, minimizzare la radice equivale a minimizzarne l'argomento <-- e ora che lo scrivo mi rendo conto che perç potrebbe non essere proprio così... :/
Comunque, a quel punto rimango che voglio trovare il valore minimo di y per cui
$ \sum_{k=0}^N ((y-y_k)^2 ) $
e scrivendola per esplicito ricavo:
$ y^2 - 2y_0y + y_0^2 + y^2 - 2y_1y + y_1^2 + ... + y^2 - 2y_Ny + y_N^2 $
e derivando e imponendo la derivata a 0:
$ 2y -2y_0 + 2y -2y_1 + ... + 2y -2y_N = 0 $
Da cui
$ 2Ny=2(y_0+y_1+...y_N) $ e dividendo per 2N ambo i membri ottengo che il punto di minimo é
$ y = (y_0+y_1+...y_N)/N $
che é la media delle ordinate... che però é errato -.-'
Controesempio:
minimizza le funzioni
$y=\sqrt((x-10)^2)+\sqrt(x^2)$
e
$z= (t-10)^2+t^2$
Non sono la stessa cosa.
Quando derivi i moduli ti viene fuori un fatto molto interessante, sta attento a dargli la giusta interpretazione.
minimizza le funzioni
$y=\sqrt((x-10)^2)+\sqrt(x^2)$
e
$z= (t-10)^2+t^2$
Non sono la stessa cosa.
Quando derivi i moduli ti viene fuori un fatto molto interessante, sta attento a dargli la giusta interpretazione.
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