Distanza fra due rette nello spazio
dunque, ho necessità di calcolare la distanza minima di due rette nello spazio (ovviamente non sono parallele, ma le intendo sghembe).
Io utilizzo un algoritmo che ho trovato per deduzione, cioè: date le due rette \(\displaystyle r \) ed \(\displaystyle s \), trovo dei punti generici appartenenti dalle due rette del tipo \(\displaystyle P_r (x_0 + at, y_0+bt, z_0+ct) \) e \(\displaystyle P_s (x_1 + a^1 t, y_1 + b^1 t, z_1 + c^1 t) \), quindi utilizzo la formula della distanza fra due punti \(\displaystyle d(P_r,P_s) = \sqrt{\left( x_{p}-x_{r} \right)^{2}+\left( y_{p}-y_{r} \right)^{2}+\left( x_{p}-y_{p} \right)^{2}} \), faccio la derivata di questa distanza in funzione del parametro \(\displaystyle t \), e quindi calcolo il punto di minimo assoluto. Una volta ricavato \(\displaystyle t \), lo sostituisco nelle equazioni generiche dei punti \(\displaystyle P_r \) e \(\displaystyle P_s \).
Suppongo che il mio sia un procedimento un pò macchinoso, quindi mi chiedevo se esistesse semplicemente una formula da utilizzare. grazie a tutti!
Io utilizzo un algoritmo che ho trovato per deduzione, cioè: date le due rette \(\displaystyle r \) ed \(\displaystyle s \), trovo dei punti generici appartenenti dalle due rette del tipo \(\displaystyle P_r (x_0 + at, y_0+bt, z_0+ct) \) e \(\displaystyle P_s (x_1 + a^1 t, y_1 + b^1 t, z_1 + c^1 t) \), quindi utilizzo la formula della distanza fra due punti \(\displaystyle d(P_r,P_s) = \sqrt{\left( x_{p}-x_{r} \right)^{2}+\left( y_{p}-y_{r} \right)^{2}+\left( x_{p}-y_{p} \right)^{2}} \), faccio la derivata di questa distanza in funzione del parametro \(\displaystyle t \), e quindi calcolo il punto di minimo assoluto. Una volta ricavato \(\displaystyle t \), lo sostituisco nelle equazioni generiche dei punti \(\displaystyle P_r \) e \(\displaystyle P_s \).
Suppongo che il mio sia un procedimento un pò macchinoso, quindi mi chiedevo se esistesse semplicemente una formula da utilizzare. grazie a tutti!
Risposte
senti sul mio libro ne è menzionato uno facendo uso del prodotto vettoriale è abbastanza veloce ma non ho bene chiaro da cosa venga fuori visto che non è giustificato...
che non hai idea da dove venga fa nulla...!
basta che fa risparmiare tempo rispetto al mio, indubbiamente, prolisso algoritmo.
Se lo posti qui, possiamo anche cercare di capire da dove spunti fuori!
basta che fa risparmiare tempo rispetto al mio, indubbiamente, prolisso algoritmo.
Se lo posti qui, possiamo anche cercare di capire da dove spunti fuori!
ANCORA non ho dimestichezza con le formule... cmq non credere che sia tanto più veloce devi farti comunque un prodotto vettoriale e un prodotto scalare,boh ora mi imparo bene come si scrivono le formule e poi provo a postartela
Siano $ r $ ed $ s $ rette sghembe di $ \mathbb{E}^3 $, spazio euclideo tridimensionale. Sia $ R \in r $, $ S \in s $ e siano $ \mathbf{v}_r $, $ \mathbf{v}_s $ vettori di direzione di $ r $ ed $ s $ rispettivamente.
(1)
La distanza tra $ r $ ed $ s $ è
$ d(r, s) = \frac{|<\mathbf{v}_r \wedge \mathbf{v}_s, R\vecS>|}{||\mathbf{v}_r \wedge \mathbf{v}_s||} $
cioè l'altezza del prisma che ha come base il parallelogramma individuato da $ \mathbf{v}_r $ e $ \mathbf{v}_s $ e come terzo spigolo il vettore $ R\vecS $.
(2)
La distanza tra $ r $ ed $ s $ è uguale alla distanza tra un punto di $ r $ e il piano $ \alpha $ parallelo ad $ r $ e contenente $ s $ (ma anche alla distanza tra un punto di $ s $ e il piano $ \beta $ parallelo ad $ s $ e contenente $ r $). In formule:
$ d(r,s) = d(R, \alpha) $
oppure
$ d(r,s) = d(S, \beta) $
(1)
La distanza tra $ r $ ed $ s $ è
$ d(r, s) = \frac{|<\mathbf{v}_r \wedge \mathbf{v}_s, R\vecS>|}{||\mathbf{v}_r \wedge \mathbf{v}_s||} $
cioè l'altezza del prisma che ha come base il parallelogramma individuato da $ \mathbf{v}_r $ e $ \mathbf{v}_s $ e come terzo spigolo il vettore $ R\vecS $.
(2)
La distanza tra $ r $ ed $ s $ è uguale alla distanza tra un punto di $ r $ e il piano $ \alpha $ parallelo ad $ r $ e contenente $ s $ (ma anche alla distanza tra un punto di $ s $ e il piano $ \beta $ parallelo ad $ s $ e contenente $ r $). In formule:
$ d(r,s) = d(R, \alpha) $
oppure
$ d(r,s) = d(S, \beta) $
mi è piaciuto molto il secondo metodo!
in pratica solo una formuletta: \(\displaystyle d\left( P_{0},\; \pi \right)\; =
\frac{\left| ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d \right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}} \)
altro che derivate e derivate!
in pratica solo una formuletta: \(\displaystyle d\left( P_{0},\; \pi \right)\; =
\frac{\left| ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d \right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}} \)
altro che derivate e derivate!
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