Distanza fra 2 rette

[*Marty*113]

Si considerino le rette

$r:{(x-y-1=0),(x+2y-z+1=0):}$
$s:{(3x-z+2=0),(-3y+z+1=0):}$

Qual è la distanza fra le 2 rette?

Mi potete dire se posso ricavarmi una sola equazione dalle 2 che mi vengono date? grazie!

[Gatto891]

"*Marty*":
Mi potete dire se posso ricavarmi una sola equazione dalle 2 che mi vengono date? grazie!

Se intendi le due equazioni di una retta allora no, poichè siamo in uno spazio e non in un piano ogni retta è rappresentata tramite due equazioni... un'equazione sola rappresenta un piano.
Riguardo alla distanza lascio parlare gente che l'ha fatto

[*Marty*113]

Ok... Grazie! Ora manca solo la prima parte della domanda:D

[franced]

"*Marty*":Si considerino le rette

$r:{(x-y-1=0),(x+2y-z+1=0):}$
$s:{(3x-z+2=0),(-3y+z+1=0):}$

Qual è la distanza fra le 2 rette?

Ci sono vari metodi per risolvere questo esercizio.

Ad esempio, puoi prendere i piani $\pi_1$ e $\pi_2$ tali che

$\pi_1$ contiene $r$ ed è parallelo a $s$

$\pi_2$ contiene $s$ ed è parallelo a $r$

e calcolare la distanza tra i due piani.

[*Marty*113]

Io avevo provato a calcolare prendere un punto appartenente a $pi_1$ e fare la distanza punto piano ma torna una cosa assurda... Mi potreste spiegare il procedimento?

[nato_pigro1]

Quando in $RR^3$ due rette sono sghembe esiste sempre una retta perpendicolare ad entrambe e si chiama "comune perpendicolare". Devi trovare la comune perpendicolare e poi prendere la distanza tra i due punti di intersezione.

Per trovare la comune ci osno due modi: o fare il discorso con i due piani paralleli passanti per le due rette, oppure (ed è il metodo più calcolatore, ma richiede meno intuizione geometrica) scrivi le rette in forma parametrica, prendi un punto generico di ogni retta, prendi il vettore generato da questi due punti e imponi la perpendicolarità a entrambe le rette. Il vettore che trovi sarà la giacitura della comune perpendicolare. Se ti interessa solo la distanza tra le due rette allora basta prendere la lunghezza di quel vettore.

[franced]

Un altro modo consiste nello scrivere le equazioni parametriche delle due rette, indicando
con $t,s$ i due parametri e nel calcolare la distanza generica di due punti.
Minimizzando tale distanza si individuano gli estremi del segmento di minima distanza.

Osservazione pratica: conviene minimizzare, ovviamente, il quadrato di tale distanza..