Distanza definita da misura di Lebesgue

[DavideGenova1]

Ciao, amici! Leggo sugli Elementi di teoria delle funzioni e di analisi funzionale (p. 271 dell'ed. Editori Riuniti, cfr. per es. qui) quanto segue

"Kolmogorov e Fomin":osserviamo che \(m'(A\triangle B)\) [dove \(m'\) è l'estensione della misura $m$ definita sul semianello $\mathfrak{S}_m$ all'anello minimale \(\mathfrak{R}(\mathfrak{S}_m)\)] si può supporre quale distanza [credo che già a questo punto bisogna tener conto dell'affermazione tra parentesi in fondo e considerare piuttosto il "quoziente" \(\mathfrak{R}(\mathfrak{S}_m)/\sim\) dove si identificano \(A\sim A'\) quando \(m'(A\triangle A')=0\)] fra gli elementi $A$ e $B$ dell'anello \(\mathfrak{R}(\mathfrak{S}_m)\). Allora \(\mathfrak{R}(\mathfrak{S}_m)\) diventa uno spazio metrico (in generale) non completo e il suo completamento è composto esattamente da tuggli gli insiemi misurabili (in questo caso, però, gli insiemi $A$ e $B$ sono indistinguibili dal punto di vista metrico se \(\mu (A\triangle B)\)).

Ciò che non riesco proprio a dimostrare a me stesso è la completezza dello spazio degli insiemi misurabili, che chiamo $\mathfrak{M}$, cioè che se \(\{A_n\}\subset\mathfrak{M}\) è una successione tale che\[\forall\varepsilon>0\quad\exists N\in\mathbb{N}^+:\forall n,m\geq N\quad\mu(A_n\triangle A_m)<\varepsilon\]allora esiste un $A\in\mathfrak{M}$ tale che \[\forall\varepsilon>0\quad\exists N\in\mathbb{N}^+:\forall n\geq N\quad\mu(A_n\triangle A)<\varepsilon\]

Qualcuno, che abbia seguito o no il Kolmogorov-Fomin, ne sa di più?
$\infty$ grazie!!!

[dissonance]

Secondo me è questione di convergenza dominata. Prova a riscrivere le due condizioni in termini di funzioni caratteristiche, magari ne viene fuori qualcosa di facile.

[DavideGenova1]

"dissonance":Prova a riscrivere le due condizioni in termini di funzioni caratteristiche

$\infty$ grazie, ma non so che cosa sono...
Ho pensato anche di usare il teorema 9 di p. 257, che mi sembrerebbe valere anche nel caso astratto, più che altro perché è l'unico posto dove si parla di limiti di misure, ma non arrivo a nulla...

[dissonance]

Funzione caratteristica dell'insieme \(A\)= funzione che vale \(1\) su \(A\) e \(0\) fuori da \(A\). In analisi la si indica solitamente con \(\chi_A\) o \(\mathbb{1}_A\).

[DavideGenova1]

Cogliendo l'occasione per ringraziare dissonance segnalo una risposta ricevuta su Mathstackexchange nel caso particolare in cui \(\bigcup_n A_n\in\mathfrak{M}\). Mi scuso con i moderatori se il deep linking fosse inappropriato, nel qual caso lo rimuoverò.