Distanza da un sottospazio vettoriale
Ciao a tutti,
è il primo messaggio che lascio...
avrei bisogno di un aiuto da parte di voi matematici!
sto preparando un esame all'università e c'è un esercizio (per voi sicuramente banale) che non riesco a risolvere..
Il testo è questo:
Nello spazio vettoriale R^4 dotato del prodotto scalare euclideo, scrivere la distanza del vettore (1,1,1,1) dal sottospazio W=L{(0,1,0,0),(0,0,1,2),(1,1,1,0)}.
Come si risolve? Sono disperato!
Grazie Grazie Grazie Grazie!
è il primo messaggio che lascio...
avrei bisogno di un aiuto da parte di voi matematici!
sto preparando un esame all'università e c'è un esercizio (per voi sicuramente banale) che non riesco a risolvere..
Il testo è questo:
Nello spazio vettoriale R^4 dotato del prodotto scalare euclideo, scrivere la distanza del vettore (1,1,1,1) dal sottospazio W=L{(0,1,0,0),(0,0,1,2),(1,1,1,0)}.
Come si risolve? Sono disperato!
Grazie Grazie Grazie Grazie!
Risposte
nessuno mi sa dare una mano?
"claudio85":
Nello spazio vettoriale R^4 dotato del prodotto scalare euclideo,
scrivere la distanza del vettore (1,1,1,1) dal sottospazio W=L{(0,1,0,0),(0,0,1,2),(1,1,1,0)}.
Ci sono più metodi per risolvere il tuo problema.
Uno può essere questo:
ti calcoli per prima cosa un vettore [tex]z_4[/tex] ortogonale ai tre vettori di W e poi esprimi
il vettore [tex](1,1,1,1)[/tex] come combinazione lineare dei quattro vettori:
[tex]\left( \begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1 \\
1
\end{array} \right) = \lambda_1 \left( \begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0 \\
0
\end{array} \right) + \lambda_2 \left( \begin{array}{c}
0 \\
0\\
1 \\
2
\end{array} \right) + \lambda_3 \left( \begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1 \\
0
\end{array} \right) + \lambda_4 z_4[/tex]
Infine determini la norma di [tex]\lambda_4 z_4[/tex].
[mod="franced"]Ho modificato il titolo.
Evitate gli "HELP"....[/mod]
Evitate gli "HELP"....[/mod]
grazie mille innanzitutto.
solo un dubbio:
prima di fare il procedimento che tu mi hai indicato, devo mica verificare che i 3 vettori del sottospazio siano ortonormali (e direi che a prima vista non lo sono)?
e ne caso non lo siano, devo trovarne 3 ortonormali, partendo da quelli che ho, applicando l'algoritmo di gram-smidt?
ho questo dubbio, perchè nel caso debba trovare una proiezione di un vettore su un sottospazio, per prima cosa so che devo andarmi a trovare con gram-smitd una base ortonormale partendo dai vettori dati.... e poi a quel punto applico la formula per la proiezione...
solo un dubbio:
prima di fare il procedimento che tu mi hai indicato, devo mica verificare che i 3 vettori del sottospazio siano ortonormali (e direi che a prima vista non lo sono)?
e ne caso non lo siano, devo trovarne 3 ortonormali, partendo da quelli che ho, applicando l'algoritmo di gram-smidt?
ho questo dubbio, perchè nel caso debba trovare una proiezione di un vettore su un sottospazio, per prima cosa so che devo andarmi a trovare con gram-smitd una base ortonormale partendo dai vettori dati.... e poi a quel punto applico la formula per la proiezione...
"claudio85":
grazie mille innanzitutto.
solo un dubbio:
prima di fare il procedimento che tu mi hai indicato, devo mica verificare che i 3 vettori del sottospazio siano ortonormali (e direi che a prima vista non lo sono)?
e ne caso non lo siano, devo trovarne 3 ortonormali, partendo da quelli che ho, applicando l'algoritmo di gram-smidt?
ho questo dubbio, perchè nel caso debba trovare una proiezione di un vettore su un sottospazio, per prima cosa so che devo andarmi a trovare con gram-smitd una base ortonormale partendo dai vettori dati.... e poi a quel punto applico la formula per la proiezione...
No, non importa: sarebbe tempo perso.
L'unica cosa importante è scegliere un quarto vettore ortogonale ai tre vettori di W.
ok, grazie ancora una volta...
Prova a risolverlo e a scriverlo qui, così ti diciamo se hai fatto bene!
Ho usato il procedimento che mi hai detto tu.. ho fatto nel modo seguente:
1) Per prima cosa mi sono trovato un vettore ortogonale ai 3 vettori del sottospazio.
-ho preso un vettore generico (a,b,c,d) e ho imposto le tre condizioni di ortogonalità con i tre vettori.
-visto che mi serviva ancora una condizione (perchè avevo 4 incognite), ho inserito anche la condizione che il vettore fosse normalizzato, cioè con norma 1.
-alla fine mi sono trovato il seguente sistema a 4 equazioni e l'ho risolto (con l'aiuto di derive)...
- il vettore che è venuto fuori è il seguente (2/3,0,-2/3,1/3)
quindi v4, come scritto sopra, è (2/3,0,-2/3,1/3)
2) Poi sono andato a scrivermi il vettore (1,1,1,1) come combinazione lineare degli altri 4
-Sfruttando quello che avevi scritto tu, mi sono venuti fuori i seguenti lambda: L1=2/11, L2=4/11, L3=9/11, L4=3/11
- Quindi il lambda4 (quello di interesse) è L4=3/11
- Ho moltiplicato il vettore v4 con L4.. ottenendo L4v4
- A quel punto mi calcolo la norma di L4v4
- La norma ottenuta (3/11) è la distanza di (1,1,1,1) dallo spazio vettoriale
è esatto quello che ho fatto?
grazie!
1) Per prima cosa mi sono trovato un vettore ortogonale ai 3 vettori del sottospazio.
-ho preso un vettore generico (a,b,c,d) e ho imposto le tre condizioni di ortogonalità con i tre vettori.
-visto che mi serviva ancora una condizione (perchè avevo 4 incognite), ho inserito anche la condizione che il vettore fosse normalizzato, cioè con norma 1.
-alla fine mi sono trovato il seguente sistema a 4 equazioni e l'ho risolto (con l'aiuto di derive)...
- il vettore che è venuto fuori è il seguente (2/3,0,-2/3,1/3)
quindi v4, come scritto sopra, è (2/3,0,-2/3,1/3)
2) Poi sono andato a scrivermi il vettore (1,1,1,1) come combinazione lineare degli altri 4
-Sfruttando quello che avevi scritto tu, mi sono venuti fuori i seguenti lambda: L1=2/11, L2=4/11, L3=9/11, L4=3/11
- Quindi il lambda4 (quello di interesse) è L4=3/11
- Ho moltiplicato il vettore v4 con L4.. ottenendo L4v4
- A quel punto mi calcolo la norma di L4v4
- La norma ottenuta (3/11) è la distanza di (1,1,1,1) dallo spazio vettoriale
è esatto quello che ho fatto?
grazie!
Allora io faccio i calcoli con il vettore [tex](2,0,-2,1)[/tex] (sconsiglio il metodo
che hai seguito tu, tanto la norma la calcoliamo alla fine).
[tex]\left( \begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1 \\
1
\end{array} \right) = \lambda_1 \left( \begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0 \\
0
\end{array} \right) + \lambda_2 \left( \begin{array}{c}
0 \\
0\\
1 \\
2
\end{array} \right) + \lambda_3 \left( \begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1 \\
0
\end{array} \right) + \lambda_4 \left( \begin{array}{c}
2 \\
0 \\
-2 \\
1
\end{array} \right)[/tex]
si trovano i valori seguenti:
[tex]\lambda_1 = \dfrac{2}{9} ; \lambda_2 = \dfrac{4}{9} ; \lambda_3 = \dfrac{7}{9} ; \lambda_4 = \dfrac{1}{9}[/tex]
a questo punto considero la norma del vettore
[tex]\lambda_4 \left( \begin{array}{c}
2 \\
0 \\
-2 \\
1
\end{array} \right) = \dfrac{1}{9} \left( \begin{array}{c}
2 \\
0 \\
-2 \\
1
\end{array} \right)[/tex] :
abbiamo
[tex]\left\| \dfrac{1}{9} \left( \begin{array}{c}
2 \\
0 \\
-2 \\
1
\end{array} \right) \right\| = \dfrac{1}{9} \cdot \sqrt{2^2 + 0^2 + (-2)^2 + 1^2} = \dfrac{1}{9} \cdot 3 = \dfrac{1}{3} .[/tex]
che hai seguito tu, tanto la norma la calcoliamo alla fine).
[tex]\left( \begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1 \\
1
\end{array} \right) = \lambda_1 \left( \begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0 \\
0
\end{array} \right) + \lambda_2 \left( \begin{array}{c}
0 \\
0\\
1 \\
2
\end{array} \right) + \lambda_3 \left( \begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1 \\
0
\end{array} \right) + \lambda_4 \left( \begin{array}{c}
2 \\
0 \\
-2 \\
1
\end{array} \right)[/tex]
si trovano i valori seguenti:
[tex]\lambda_1 = \dfrac{2}{9} ; \lambda_2 = \dfrac{4}{9} ; \lambda_3 = \dfrac{7}{9} ; \lambda_4 = \dfrac{1}{9}[/tex]
a questo punto considero la norma del vettore
[tex]\lambda_4 \left( \begin{array}{c}
2 \\
0 \\
-2 \\
1
\end{array} \right) = \dfrac{1}{9} \left( \begin{array}{c}
2 \\
0 \\
-2 \\
1
\end{array} \right)[/tex] :
abbiamo
[tex]\left\| \dfrac{1}{9} \left( \begin{array}{c}
2 \\
0 \\
-2 \\
1
\end{array} \right) \right\| = \dfrac{1}{9} \cdot \sqrt{2^2 + 0^2 + (-2)^2 + 1^2} = \dfrac{1}{9} \cdot 3 = \dfrac{1}{3} .[/tex]
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