Disequazione con le norme
Buongiorno a tutti, vi chiedo aiuto per trovare un modo di mostrare questa disequazione in uno spazio vettoriale normato qualsiasi:
\( ||x||^2 + ||y||^2 \leq ||x-y||^2 + ||x+y||^2\)
Ho provato ad usare la diseguaglianza triangolare ma non mi sembra di arrivare da nessuna parte. Ho persino provato a portare \( ||x^2|| \) e \( ||x-y||^2 \) dall'altra parte per avere differenze tra quadrati, ma fattore per fattore non riesco ad avere le diseguaglianze.
Vi ringrazio in anticipo per l'aiuto!
\( ||x||^2 + ||y||^2 \leq ||x-y||^2 + ||x+y||^2\)
Ho provato ad usare la diseguaglianza triangolare ma non mi sembra di arrivare da nessuna parte. Ho persino provato a portare \( ||x^2|| \) e \( ||x-y||^2 \) dall'altra parte per avere differenze tra quadrati, ma fattore per fattore non riesco ad avere le diseguaglianze.
Vi ringrazio in anticipo per l'aiuto!
Risposte
"Sergio":
$x^Tx+y^Ty\le (x^Tx-2x^Ty+y^Ty)+(x^Tx+2x^Ty+y^Ty)=2x^Tx+2y^Ty$.
Grazie mille per aver risposto! Purtroppo devo dimostrarlo in generale però, non deve necessariamente esserci un prodotto scalare.
Usa la legge del parallelogramma
"Bokonon":
Usa la legge del parallelogramma
Purtroppo la legge del parallelogram a vale solo per spazi di Hilbert, ma devo dimostrarlo in generale per spazi normati!
Come "purtroppo"?
Stai cercando di dimostrare che la disequazione è sempre vera anche per prodotti scalari degeneri o indefiniti?
Stai cercando di dimostrare che la disequazione è sempre vera anche per prodotti scalari degeneri o indefiniti?
Devo dimostrarlo per un qualunque spazio normato. Se non ricordo male però non tutte le norme sono indotte da un prodotto scalare, giusto? Perché in tal caso significherebbe che la legge del parallelogramma non la posso usare in generale se ho uno spazio normato e basta.
Scusami, che definizione hai di norma?
Ma perchè sei convinto che sia vera quella disuguaglianza?
"Bokonon":
Scusami, che definizione hai di norma?
Intendo la definizione come mappa da uno spazio vettoriale nei reali positivi tale che \( ||x||=0 \iff x=0 \), omogenea rispetto al prodotto per uno scalare e tale che valga la disuguaglianza triangolare.
"otta96":
Ma perchè sei convinto che sia vera quella disuguaglianza?
Il professore ha chiesto questa diseguaglianza per l'esame di analisi funzionale.
Appunto...in altre parole dev'essere associata ad un prodotto scalare a sua volta associato ad una forma bilineare simmetrica e definita positiva.
Quale prodotto scalare secondo te induce la norma $1$ in $RR^2$? Intendo $||((x,y))||_1=|x|+|y|$.
Ok, ci penso.
"Giorgeous":
Il professore ha chiesto questa diseguaglianza per l'esame di analisi funzionale.
Ok, ci penso.
"otta96":
Ok, ci penso.
Grazie mille!
Appunto...in altre parole dev'essere associata ad un prodotto scalare a sua volta associato ad una forma bilineare simmetrica e definita positiva.
Non condivido, del resto l'esempio di otta96 non penso sia associabile ad un prodotto scalare (non vale la regola del parallelogramma).
Grazie anche a te in ogni caso!
Proviamo a riordinare i concetti.
Per prima cosa si definisce il concerto di vettore che è puramente geometrico. Disegna due vettori sul foglio e usa la definizione di somma. Punto.
Non hanno un sistema di riferimento, ne componenti ne infine una norma specifica. L'unica regola imposta è che la norma, ovvero la loro lunghezza deve essere positiva a meno che il vettore non sia un punto.
Due vettori su un foglio possono rappresentare qualsiasi cosa per isomorfismo: un vettore n-dimensionale su un campo a piacere fino ad operazioni fra funzioni, matrici o polinomi.
Tutto ciò che vuoi.
Poi subentra la definizione di spazio vettoriale che limita fortemente le scelte possibili, ovvero si possono associare a spazi vettoriali solo applicazioni lineari o linearizzabili.
Le derivate sono lineari? Si, quindi possiamo associare loro dei vettori e quindi matrici e quindi un prodotto scalare.
Gli integrali sono lineari? Di nuovo, si.
E così via (per fortuna altrimenti non avremmo manco la scienza moderna).
Ma alla base di tutto ci sono i vettori geometrici. Come possono esistere degli ismorfimi associati ai vettori e alla definizione di norma senza rispettare le regole di base?
Un integrale associa ad una funzione un numero reale. La norma della funzione è positiva per definizione e all'integrale è associato un prodotto scalare. Pensavi di non poter rappresentare l'integrale con una matrice?
E allora dove sarebbe la connessione con uno spazio vettoriale?
Per prima cosa si definisce il concerto di vettore che è puramente geometrico. Disegna due vettori sul foglio e usa la definizione di somma. Punto.
Non hanno un sistema di riferimento, ne componenti ne infine una norma specifica. L'unica regola imposta è che la norma, ovvero la loro lunghezza deve essere positiva a meno che il vettore non sia un punto.
Due vettori su un foglio possono rappresentare qualsiasi cosa per isomorfismo: un vettore n-dimensionale su un campo a piacere fino ad operazioni fra funzioni, matrici o polinomi.
Tutto ciò che vuoi.
Poi subentra la definizione di spazio vettoriale che limita fortemente le scelte possibili, ovvero si possono associare a spazi vettoriali solo applicazioni lineari o linearizzabili.
Le derivate sono lineari? Si, quindi possiamo associare loro dei vettori e quindi matrici e quindi un prodotto scalare.
Gli integrali sono lineari? Di nuovo, si.
E così via (per fortuna altrimenti non avremmo manco la scienza moderna).
Ma alla base di tutto ci sono i vettori geometrici. Come possono esistere degli ismorfimi associati ai vettori e alla definizione di norma senza rispettare le regole di base?
Un integrale associa ad una funzione un numero reale. La norma della funzione è positiva per definizione e all'integrale è associato un prodotto scalare. Pensavi di non poter rappresentare l'integrale con una matrice?
E allora dove sarebbe la connessione con uno spazio vettoriale?
@arnett
Quindi negano la base di fondo sui vettori geometrici e il fatto che la lunghezza di un segmento debba essere positiva per essere una norma?
Cosa intendi dire?
Quindi negano la base di fondo sui vettori geometrici e il fatto che la lunghezza di un segmento debba essere positiva per essere una norma?
Cosa intendi dire?
@arnett
Non sapevo nemmeno di aver dimostrato qualcosa.
Grazie dell'illuminazione.
Non sapevo nemmeno di aver dimostrato qualcosa.
Grazie dell'illuminazione.
https://math.stackexchange.com/q/1677727/8157
P.S.: Questa è una disuguaglianza, non una disequazione. (La parola "disequazione" sparisce quasi completamente dal vocabolario matematico, più o meno alla fine delle superiori).
P.S.: Questa è una disuguaglianza, non una disequazione. (La parola "disequazione" sparisce quasi completamente dal vocabolario matematico, più o meno alla fine delle superiori).
Non ti sfugge niente, in effetti ora che vedo meglio non è proprio la stessa cosa, ma dovrebbe andare bene la stessa dimostrazione. Se trovo un pezzo di carta faccio il conto, sono in viaggio
Ho trovato un pezzo di carta. Proviamo a fare la seguente posizione:
\[
\xi=x+y, \quad \eta=x-y.
\]
Allora
\[
\|x\|^2 + \|y\|^2 =\frac14 \|\xi+\eta\|^2 + \frac14\|\xi-\eta\|^2\le \frac12 \|\xi\|^2 + \frac12 \|\eta\|^2 + \|\xi\|\|\eta\|, \]
e poi ci ricordiamo che
\[\|\xi\|\|\eta\|\le \frac12 \|\xi\|^2 + \frac12 \|\eta\|^2, \]
quindi concludiamo che
\[\|x\|^2 + \|y\|^2\le \|\xi\|^2 + \|\eta\|^2,\]
che è ciò che volevamo dimostrare.
\[
\xi=x+y, \quad \eta=x-y.
\]
Allora
\[
\|x\|^2 + \|y\|^2 =\frac14 \|\xi+\eta\|^2 + \frac14\|\xi-\eta\|^2\le \frac12 \|\xi\|^2 + \frac12 \|\eta\|^2 + \|\xi\|\|\eta\|, \]
e poi ci ricordiamo che
\[\|\xi\|\|\eta\|\le \frac12 \|\xi\|^2 + \frac12 \|\eta\|^2, \]
quindi concludiamo che
\[\|x\|^2 + \|y\|^2\le \|\xi\|^2 + \|\eta\|^2,\]
che è ciò che volevamo dimostrare.
Eh, vabbé, grazie Sergio. 
era un giochino più che altro, certo ad un esame può capitare che la soluzione non venga in mente
era un giochino più che altro, certo ad un esame può capitare che la soluzione non venga in mente
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo