Discutere un sitema parametrico al variare di k
Trovo difficolta nel trovare le soluzioni quando discuto un sistema parametrico. Questo é il sistema:
$x + kz = -1$
$kx - 2y + z = -3$
$-kx + 4y + 7z = 3$
dopo averlo discusso devo risolverlo per $k = 2$
Allora io ho utilizzato il teorema di Rouche Capelli per cui un sistema ha soluzioni se $rk(A) = rk(A|b)$
Scrivo la matrice associata:
$(1,0,k),(k,-2,1),(-k,4,7)$ trovo il determinante $det(A)= 2k^2-18$ con $k=3$ e $k=-3$ per cui $t!=3,-3$
vedo quante soluzioni ha per $k!=3,-3)$ sostituendo dei valori che siano diversi da $3$ e $-3$ (ho usato $0$ ed $1$)
per $k=0$ ha soluzioni perché $rk(A) = rk(A|b) = 3$ per cui avrá $infinito^n-r = 1$ soluzione.
per $k=1$ ha sempre 1 soluzione
Ora vedo per $k=3$ e $k=-3$
$k=3$
$rk(A) = rk(A|b) = 2$ ammette soluzioni
stessa cosa per $k=-3$ per cui il mnsistema ammette come soluzioni $-3,3$
E´ corretto il procedimento? Ed il calcolo del rango l ho fatto giusto? Ho molte difficolta a riguardo...ogni consiglio é ben accettato...Grazie
$x + kz = -1$
$kx - 2y + z = -3$
$-kx + 4y + 7z = 3$
dopo averlo discusso devo risolverlo per $k = 2$
Allora io ho utilizzato il teorema di Rouche Capelli per cui un sistema ha soluzioni se $rk(A) = rk(A|b)$
Scrivo la matrice associata:
$(1,0,k),(k,-2,1),(-k,4,7)$ trovo il determinante $det(A)= 2k^2-18$ con $k=3$ e $k=-3$ per cui $t!=3,-3$
vedo quante soluzioni ha per $k!=3,-3)$ sostituendo dei valori che siano diversi da $3$ e $-3$ (ho usato $0$ ed $1$)
per $k=0$ ha soluzioni perché $rk(A) = rk(A|b) = 3$ per cui avrá $infinito^n-r = 1$ soluzione.
per $k=1$ ha sempre 1 soluzione
Ora vedo per $k=3$ e $k=-3$
$k=3$
$rk(A) = rk(A|b) = 2$ ammette soluzioni
stessa cosa per $k=-3$ per cui il mnsistema ammette come soluzioni $-3,3$
E´ corretto il procedimento? Ed il calcolo del rango l ho fatto giusto? Ho molte difficolta a riguardo...ogni consiglio é ben accettato...Grazie
Risposte
E' un sistema quadrato : 3 incognite , 3 equazioni .
Calcola il determinante della matrice $A$ ; $det A = 2k^2-18 $ .
Se $det A ne 0 $ allora il sistema ha una e una sola soluzione che si può determinare con la regola di Cramer.
Il determinante si annulla per $ k=+-3 $ , quindi se $k ne +- 3 $ ( quindi se ad esempio $k=2 $ )si ottiene una soluzione con Cramer .
Non devi metterti a calcolare il rango per valori di $k ne +-3 $ , già sai che il sistema ha una e una sola soluzione in quanto il rango di $A $ è 3 e quello di $ A| b $ è pure 3 .
Se invece $k= +3 $ allora $r(A) = r(A|b)=2 $ e quindi il sistema ha $00 ^1 $ soluzioni. che puoi trovare risolvendo il sistema equivalente
$x=-1-3z $
$3x-2y=-3-z $.
Se poi $k=-3 $ allora $r(A) = 2 ne r(A|b)=3 $ , nessuna soluzione.
Calcola il determinante della matrice $A$ ; $det A = 2k^2-18 $ .
Se $det A ne 0 $ allora il sistema ha una e una sola soluzione che si può determinare con la regola di Cramer.
Il determinante si annulla per $ k=+-3 $ , quindi se $k ne +- 3 $ ( quindi se ad esempio $k=2 $ )si ottiene una soluzione con Cramer .
Non devi metterti a calcolare il rango per valori di $k ne +-3 $ , già sai che il sistema ha una e una sola soluzione in quanto il rango di $A $ è 3 e quello di $ A| b $ è pure 3 .
Se invece $k= +3 $ allora $r(A) = r(A|b)=2 $ e quindi il sistema ha $00 ^1 $ soluzioni. che puoi trovare risolvendo il sistema equivalente
$x=-1-3z $
$3x-2y=-3-z $.
Se poi $k=-3 $ allora $r(A) = 2 ne r(A|b)=3 $ , nessuna soluzione.
Ho discusso nuovamente il sistema:
$det(A) = 2k^2 - 18= +-3$
da qui imposto il tutto
$(A):$ per $k=3 rk(A)=2$
$(A|b):$ per $k=3 rk(A|b)=2$
$(A):$ per $k!=3 rk(A)=3$ (ho sostituito 0)
$(A|b):$ per $k!=3 rk(A|b)=3$
$(A):$ per $k=-3 rk(A)=2$
$(A|b):$ per $k=-3 rk(A|b)=3$
$(A):$ per $k!=-3 rk(A)=3$ (ho sostituito 0)
$(A|b):$ per $k!=-3 rk(A|b)=3$
Discussione:
per $k=3 rk(A)=rk(A|b)=2$ per cui ammette soluzioni ovvero $00^n-r = 00^3-2 = 00^1$ soluz.
per $k!=3 rk(A)=rk(A|b)=3$ ammette soluzioni, $00^3-3 = 00^0´= 1$ soluz.
per $k=-3 rk(A)!=rk(A|b)$ non ammette soluzioni
per $K!=-3 rk(A)=rk(A|b) = 3$ ammette soluzioni, $00^3-3=1$ soluz.
In questo modo é corretto? E soprattutto, l esercizio é terminato? Lo lascio cos´o manca qualcosa?
$det(A) = 2k^2 - 18= +-3$
da qui imposto il tutto
$(A):$ per $k=3 rk(A)=2$
$(A|b):$ per $k=3 rk(A|b)=2$
$(A):$ per $k!=3 rk(A)=3$ (ho sostituito 0)
$(A|b):$ per $k!=3 rk(A|b)=3$
$(A):$ per $k=-3 rk(A)=2$
$(A|b):$ per $k=-3 rk(A|b)=3$
$(A):$ per $k!=-3 rk(A)=3$ (ho sostituito 0)
$(A|b):$ per $k!=-3 rk(A|b)=3$
Discussione:
per $k=3 rk(A)=rk(A|b)=2$ per cui ammette soluzioni ovvero $00^n-r = 00^3-2 = 00^1$ soluz.
per $k!=3 rk(A)=rk(A|b)=3$ ammette soluzioni, $00^3-3 = 00^0´= 1$ soluz.
per $k=-3 rk(A)!=rk(A|b)$ non ammette soluzioni
per $K!=-3 rk(A)=rk(A|b) = 3$ ammette soluzioni, $00^3-3=1$ soluz.
In questo modo é corretto? E soprattutto, l esercizio é terminato? Lo lascio cos´o manca qualcosa?
questo procedimento é corretto?
Sintetizzo : $k ne +-3 $ una sola soluzione
$k= 3 $ ; $oo^1 $ soluzioni
$k=-3 $ nessuna soluzione sistema impossibile.
L'esercizio chiedeva di calcolare la soluzione per $ k= 2 $
ti consiglio di calcolare anche le soluzioni per $ k= 3 $.
$k= 3 $ ; $oo^1 $ soluzioni
$k=-3 $ nessuna soluzione sistema impossibile.
L'esercizio chiedeva di calcolare la soluzione per $ k= 2 $
ti consiglio di calcolare anche le soluzioni per $ k= 3 $.
per $k=2$ le soluzioni sono: $x=1; y=2; z=-1$
adesso l esercizio dovrebbe essere terminato, vero?
adesso l esercizio dovrebbe essere terminato, vero?
Non sono corrette , le soluzioni per $ k=2 $ sono :
$x=-3/5 ; y=4/5 ; z = -1/5 $ .
Anche se non richiesto dall'esercizio cerca le soluzioni del sistema nel caso $ k= 3 $ , è istruttivo [ usando $ z$ come variabile libera si ha : $x= -1-3z ; y= -4z $.
$x=-3/5 ; y=4/5 ; z = -1/5 $ .
Anche se non richiesto dall'esercizio cerca le soluzioni del sistema nel caso $ k= 3 $ , è istruttivo [ usando $ z$ come variabile libera si ha : $x= -1-3z ; y= -4z $.
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