Discutere la compatibilità di un sistema al variare di k..
il mio sistema, già ridotto a scala, è il seguente:
$ { ( x_1 -x_2 +(k+1)x_3 -x_4 = k ), ( x_2 -[(k+1)/2]x_3 +x_4 = (1-k)/2 ), ( [(k+1)/2]x_3 -(k+1)x_4 = -(k+3)/2 ) :} $
Dato che $x_4$ è una variabile libera (cosa che ancora non mi è chiara, comunque) osservo che $x_4 = t in RR$
Ora nel discutere il sistema io prima faccio il caso più semplice in cui $k=0$ ed è tutto rose e fiori..
Però quando poi discuto il caso in cui k diverso da 0, giungo a calcoli strani.. per dirne una: $x_3$ mi viene uguale a ---> $(2kt -k +2t -3) / (-k -1)$ ...mi devo portare dietro sia k che t e fare un macello di calcoli per poi ottenere, alla fine, un insieme di soluzioni "al variare di t e k nei reali" ???
-----------edit------------
mancava solo quel + ??
$ { ( x_1 -x_2 +(k+1)x_3 -x_4 = k ), ( x_2 -[(k+1)/2]x_3 +x_4 = (1-k)/2 ), ( [(k+1)/2]x_3 -(k+1)x_4 = -(k+3)/2 ) :} $
Dato che $x_4$ è una variabile libera (cosa che ancora non mi è chiara, comunque) osservo che $x_4 = t in RR$
Ora nel discutere il sistema io prima faccio il caso più semplice in cui $k=0$ ed è tutto rose e fiori..
Però quando poi discuto il caso in cui k diverso da 0, giungo a calcoli strani.. per dirne una: $x_3$ mi viene uguale a ---> $(2kt -k +2t -3) / (-k -1)$ ...mi devo portare dietro sia k che t e fare un macello di calcoli per poi ottenere, alla fine, un insieme di soluzioni "al variare di t e k nei reali" ???
-----------edit------------
mancava solo quel + ??
Risposte
Nella prima equazione del sistema c'é un errore ... prova a controllare e a riscriverlo, altrimenti non posso corregerti l'esercizio.
ora va meglio??
Si, ora va bene.
Allora, non so se sei abituat* ma così (per la teoria dei sistemi lineari) è molto semplice:
- devi confrontare la matrice incompleta (cioè dei coefficienti delle incognite) con quella completa (cioè coeff e termini noti);
- valuti il rango di queste al variare di k;
- se hanno lo stesso rango, per gli stessi valori di k, allora il sistema è compatibile altrimenti il sistema è incompatibile.
Nel tuo caso per
[tex]\begin{anarray}
k=-1 \ \ \ rg(A)=2 \not= rg([A|b])=3 \rightarrow \ non \ compatibile \
k \not=-1 \ \ \ rg(A)=3 = rg[A|b] \rightarrow \ compatibile
\end{anarray}[/tex]
Spero sia chiaro, altrimenti chiedi ...
Allora, non so se sei abituat* ma così (per la teoria dei sistemi lineari) è molto semplice:
- devi confrontare la matrice incompleta (cioè dei coefficienti delle incognite) con quella completa (cioè coeff e termini noti);
- valuti il rango di queste al variare di k;
- se hanno lo stesso rango, per gli stessi valori di k, allora il sistema è compatibile altrimenti il sistema è incompatibile.
Nel tuo caso per
[tex]\begin{anarray}
k=-1 \ \ \ rg(A)=2 \not= rg([A|b])=3 \rightarrow \ non \ compatibile \
k \not=-1 \ \ \ rg(A)=3 = rg[A|b] \rightarrow \ compatibile
\end{anarray}[/tex]
Spero sia chiaro, altrimenti chiedi ...
chiaro è chiaro, ma a lezione non s'è mai vista 'sta cosa.. O_o
ps: non dico che tu sia in errore anzi.. mi chiedo solo perché questa semplice cosa non ci è stata detta a lezione.. o_O
ps: non dico che tu sia in errore anzi.. mi chiedo solo perché questa semplice cosa non ci è stata detta a lezione.. o_O
E' una cosa piuttosto importante in algebra.
Deriva dal teorema di Rouché Capelli, che ti dice che un sistema lineare [tex]A\textbf{x}=\textbf{b}[/tex] di [tex]m[/tex] equazioni in [tex]n[/tex] incognite è risolubile se e solo se rg(A)=rg([A|b]).
Poi se ti dovesse chiedere di stabilire il numero delle soluzioni allora questo è = [tex]\infty^{n-r}[/tex]
dove [tex]r[/tex] è il rg(A).
Così è giustificato e non tirato fuori dal cilindro!
Ciao
Ely
Deriva dal teorema di Rouché Capelli, che ti dice che un sistema lineare [tex]A\textbf{x}=\textbf{b}[/tex] di [tex]m[/tex] equazioni in [tex]n[/tex] incognite è risolubile se e solo se rg(A)=rg([A|b]).
Poi se ti dovesse chiedere di stabilire il numero delle soluzioni allora questo è = [tex]\infty^{n-r}[/tex]
dove [tex]r[/tex] è il rg(A).
Così è giustificato e non tirato fuori dal cilindro!
Ciao
Ely
Assurdo.. l'abbiamo pure fatto il teorema di rouche-capelli.. eppure non mi fu affatto chiara l'utilità di tale teorema.. ora va molto meglio!! 
ps: quindi la procedura per discutere la compatibilità (o meno) di un sistema lineare parametrico è, vediamo se ho capito:
- Ridurlo a scala (sia la matrice dei coefficienti che quella dei coefficienti + termini noti);
- Osservare per quali valori del parametro i due sistemi hanno rango diverso e concludere che per quei valori il sistema è incompatibile;
- Concludere affermando che per tutti gli altri valori del parametro k il sistema è compatibile (=ammette soluzioni).
...finito?? ho detto giusto??..
ps: quindi la procedura per discutere la compatibilità (o meno) di un sistema lineare parametrico è, vediamo se ho capito:
- Ridurlo a scala (sia la matrice dei coefficienti che quella dei coefficienti + termini noti);
- Osservare per quali valori del parametro i due sistemi hanno rango diverso e concludere che per quei valori il sistema è incompatibile;
- Concludere affermando che per tutti gli altri valori del parametro k il sistema è compatibile (=ammette soluzioni).
...finito?? ho detto giusto??..
(ps: ovviamente questo metodo si può fare con sistemi semplici perché è un sistema "a occhio".. se avessi sistemi molto complicati non potrei risolverlo manualmente in questo modo.. dico bene??..
Intendo dire che con questo sistema si riesce subito a capire che devo provare con il valore k = -1... con sistemi più complessi come dovrei fare a "intuire" il valore da assegnare a k ??? )
Intendo dire che con questo sistema si riesce subito a capire che devo provare con il valore k = -1... con sistemi più complessi come dovrei fare a "intuire" il valore da assegnare a k ??? )
Se almeno una tra la matrice incompleta e quella completa è quadrata il problema si riduce a calcolare il determinante della matrice quadrata e a ricercare il rango di entrambe le matrici nei casi in cui
- il determinante trovato si annulli
- il determinante trovato non si annulli
Nel caso in cui entrambe le matrici siano rettangolari devi riuscire a determinare il rango di almeno una di esse in funzione di k
- il determinante trovato si annulli
- il determinante trovato non si annulli
Nel caso in cui entrambe le matrici siano rettangolari devi riuscire a determinare il rango di almeno una di esse in funzione di k
No, non dici bene. Non è "un sistema ad occhio" e si può sempre usare (nelle ipotesi del teorema ovviamente).
E' centrato sul rango: preoccupati di calcolare il suo valore per la matrice completa e incompleta (al variare di k) e poi confrontali per gli stessi valori di k.
Il fatto che si vada a vedere se il rg è lo stesso per un valore di k trovato è un modo per abbreviare i conti. Ma potresti benissimo calcolarli "al buio" e solo alla fine confrontarli.
Insomma, quando vedi le matrici non pensare "che valore di k utilizzo?", ma "quale è il loro rg al variare di k"?
Spero di essere stata chiara ...
E' centrato sul rango: preoccupati di calcolare il suo valore per la matrice completa e incompleta (al variare di k) e poi confrontali per gli stessi valori di k.
Il fatto che si vada a vedere se il rg è lo stesso per un valore di k trovato è un modo per abbreviare i conti. Ma potresti benissimo calcolarli "al buio" e solo alla fine confrontarli.
Insomma, quando vedi le matrici non pensare "che valore di k utilizzo?", ma "quale è il loro rg al variare di k"?
Spero di essere stata chiara ...
"*Ely":
Insomma, quando vedi le matrici non pensare "che valore di k utilizzo?", ma "quale è il loro rg al variare di k"?
Proverò a tenere a mente questo..
Brav*!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo