Discussione di matrice con parametro
Salve, dopo l'aiuto non indifferente ricevuto per l'esame di analisi 1 mi appello ancora a voi, in quanto sto avendo delle grane con il seguente esercizio:
1)Si determini per ogni valore del parametro $ainRR$, il determinante della matrice $A=( ( a , 1 , 1 ),( 1 , a , 1 ),( 1 , 1 , a ) )
2)Si indichi inoltre per quali valori di a la matrice A è divisore dello zero nell'anello $M_3(RR)$
Ora, premetto che i miei dubbi si limitano al punto 2): ricordo dalla definizione di divisore dello zero che una matrice A non nulla è divisore dello zero se esiste una matrice B anch'essa non nulla tale che $AB=BA=0$, ma come faccio ad applicare l'enunciato al mio problema?
Già che ci sono: il determinante calcolato con la regola di Sarrus mi viene $ a^3-3a+2$, invece usando la definizione di determinante ($det(A)= a_i_j*det(A_i_j)+....$) mi viene $3a^3-a-2$
Concludo che ci deve essere qualcosa che non va anche nel punto 1)...
Grazie in anticipo per le risposte
1)Si determini per ogni valore del parametro $ainRR$, il determinante della matrice $A=( ( a , 1 , 1 ),( 1 , a , 1 ),( 1 , 1 , a ) )
2)Si indichi inoltre per quali valori di a la matrice A è divisore dello zero nell'anello $M_3(RR)$
Ora, premetto che i miei dubbi si limitano al punto 2): ricordo dalla definizione di divisore dello zero che una matrice A non nulla è divisore dello zero se esiste una matrice B anch'essa non nulla tale che $AB=BA=0$, ma come faccio ad applicare l'enunciato al mio problema?
Già che ci sono: il determinante calcolato con la regola di Sarrus mi viene $ a^3-3a+2$, invece usando la definizione di determinante ($det(A)= a_i_j*det(A_i_j)+....$) mi viene $3a^3-a-2$
Concludo che ci deve essere qualcosa che non va anche nel punto 1)...
Grazie in anticipo per le risposte
Risposte
non so che calcoli hai fatto, ma io ho provato a calcolarlo un paio di volte il determinante, e mi è venuto sempre $det(A)=a^3-3a+2=(a-1)^2(a+2$
scomposto in fattori.
per la condizione 2 pensa a cosa è equivalente essere divisori dello $0$ per una matrice: vuol dire che non è ...
ed è una cosa legata alle proprietà del determinante.
capito l'indizio?
scomposto in fattori.
per la condizione 2 pensa a cosa è equivalente essere divisori dello $0$ per una matrice: vuol dire che non è ...
ed è una cosa legata alle proprietà del determinante.
capito l'indizio?
Beh, almeno so di aver applicato bene Sarrus, che in effetti è stata la prima cosa che ho pensato di fare... 
Stavo giusto pensando che il determinante c'entrasse qualcosa nella risoluzione del punto 2, provo a buttare la una dimostrazione:
per trovare la matrice B non nulla di cui parla la definizione, deve accadere che almeno uno dei sistemi lineari $A(B^1)=0....A(B^n)=0$ abbia soluzioni non banali. Questo si verifica se esiste almeno un vettore v tale che $A(v)=0$. Si da il caso che il vettore che cerco faccia parte del nucleo di A (vista come applicazione lineare), quindi se il nucleo è nullo non esiste nessuna B che verifica il teorema, altrimenti posso trovarla sempre; in conclusione perchè A sia divisore dello zero, essa deve essere singolare (il determinante deve essere nullo).
Ho azzeccato?
Stavo giusto pensando che il determinante c'entrasse qualcosa nella risoluzione del punto 2, provo a buttare la una dimostrazione:
per trovare la matrice B non nulla di cui parla la definizione, deve accadere che almeno uno dei sistemi lineari $A(B^1)=0....A(B^n)=0$ abbia soluzioni non banali. Questo si verifica se esiste almeno un vettore v tale che $A(v)=0$. Si da il caso che il vettore che cerco faccia parte del nucleo di A (vista come applicazione lineare), quindi se il nucleo è nullo non esiste nessuna B che verifica il teorema, altrimenti posso trovarla sempre; in conclusione perchè A sia divisore dello zero, essa deve essere singolare (il determinante deve essere nullo).
Ho azzeccato?
no, non hai azzeccato, hai capito 
più semplicemente, il determinante è proprio definito come quell'applicazione sulle colonne $A^1,...A^n$ che vale $0$ se e solo se le colonne sono linearmente dipendenti, ovvero se esiste una loro combinazione lineare non banale che dia il vettore $0$.
quindi la soluzione, concisa, dell'esercizio, qual'è ?
più semplicemente, il determinante è proprio definito come quell'applicazione sulle colonne $A^1,...A^n$ che vale $0$ se e solo se le colonne sono linearmente dipendenti, ovvero se esiste una loro combinazione lineare non banale che dia il vettore $0$.
quindi la soluzione, concisa, dell'esercizio, qual'è ?
$det(a)= a^3-3a+2$ (lo sto rifacendo per sicurezza ma so che è giusto ) e per $a=1 vv a=2$ la matrice A è divisore dello zero
) e per $a=1 vv a=2$ la matrice A è divisore dello zero
Non so se ci sarei arrivato da solo, ma il tuo suggerimento è stato l'oasi nel deserto... 
Un grazie è poco ma è d'obbligo...
Un grazie è poco ma è d'obbligo...
ma figurati, per così poco! è un piacere per me, così fisso i concetti.
ciao a presto!
ciao a presto!
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