Discussione del parametro k per Ax=0 con x non nullo
Ciao a tutti
Sto avendo problemi su questo esercizio, dove mi si chiede di determinare per quali valori di k il sistema Ax=0 ha soluzione non nulla.
La matrice è:
| k-1 -2 |
| -1 k |
| 1 1 |
Sto impazzendo. HELP
Sto avendo problemi su questo esercizio, dove mi si chiede di determinare per quali valori di k il sistema Ax=0 ha soluzione non nulla.
La matrice è:
| k-1 -2 |
| -1 k |
| 1 1 |
Sto impazzendo. HELP
Risposte
Il regolamento prevede un tentativo da parte tua.
Usando le formule devi studiare il sistema
\(\displaystyle \begin{pmatrix} k-1 & -2 \\
-1 & k \\
1 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x \\
y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \)
al variare di \(\displaystyle k \).
Comincia con il guardare questo.
Usando le formule devi studiare il sistema
\(\displaystyle \begin{pmatrix} k-1 & -2 \\
-1 & k \\
1 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x \\
y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \)
al variare di \(\displaystyle k \).
Comincia con il guardare questo.
@Gius95,
la matrice \( A \) è una \(3\times 2 \)? $$A=\begin{Vmatrix}
k-1&-2 \\
-1& k\\
1 & 1
\end{Vmatrix}$$ ??
E poi, sai quando un sistema lineare omogeneo ammette come unica soluzione quella banale?
Se si, di conseguenza saprai quando non ammette come unica soluzione quella banale!
Saluti
"Gius95":
Ciao a tutti
Sto avendo problemi su questo esercizio, dove mi si chiede di determinare per quali valori di k il sistema Ax=0 ha soluzione non nulla.
La matrice è:
| k-1 -2 |
| -1 k |
| 1 1 |
Sto impazzendo. HELP
la matrice \( A \) è una \(3\times 2 \)? $$A=\begin{Vmatrix}
k-1&-2 \\
-1& k\\
1 & 1
\end{Vmatrix}$$ ??
E poi, sai quando un sistema lineare omogeneo ammette come unica soluzione quella banale?
Se si, di conseguenza saprai quando non ammette come unica soluzione quella banale!Saluti
Sinceramente non ho capito: a lezione la prof ne ha parlato ma andava troppo veloce e non sono riuscito a starle dietro. C'entrava qualcosa col rango mi pare, visto che in un esercizio simile l'aveva posto =1, ma non ho capito perché. Me lo puoi spiegare?? comunque si è quella la matrice
@Gius95,
da un teorema sui sistemi lineare omogenei[nota]se la memoria non mi inganna[/nota], ragioniamo col tuo esempio ..
Saluti
"Gius95":
Sinceramente non ho capito: a lezione la prof ne ha parlato ma andava troppo veloce e non sono riuscito a starle dietro. C'entrava qualcosa col rango mi pare, visto che in un esercizio simile l'aveva posto =1, ma non ho capito perché. Me lo puoi spiegare?? comunque si è quella la matrice
da un teorema sui sistemi lineare omogenei[nota]se la memoria non mi inganna[/nota], ragioniamo col tuo esempio ..
dato il tuo sistema lineare omogeno \(\Sigma:= \left\{\begin{matrix}
(k-1)x -2y=0\\
-x+ky=0\\
x+y=0
\end{matrix}\right.\) allora $$\operatorname{Sol}(\Sigma)\neq\{(0,0)\} \Leftrightarrow \mathbf{rnk}(\Sigma)<2=\text{numero colonne di }A$$ ove \(\mathbf{rnk}(\Sigma)=\mathbf{rnk}(A)\)
Saluti
per Gius95
Teorema di Rouché-Capelli
dato un sistema lineare di m equazioni in n incognite $ A\ul(x)=\ul(b) $ vi sono le seguenti possibilità
se
1) $ rank_A
2) $ rank_A=rank_(A|b) =\alpha $ allora il sistema ha $ \infty^(n-\alpha) $ soluzioni
esempio (dato ad esercitazione)
Risolvere il sistema lineare $ { ( 2x+y-z=1 ),( x+3z=0 ),( 3x+y+2z=2 ):} $
allora riscrivamo il sistema in forma matriciale
[tex]A|b=\left(\begin{array}{ccc|c}
2&1&-1&1\\
1&0&3&0\\
3&1&2&2
\end{array}\right)[/tex]
dopo qualche passaggio (che ometto) con il metodo di Gauss.. ottiene
[tex]A|b=\left(\begin{array}{ccc|c}
2&1&-1&1\\
0&-1&7&-1\\
0&0&0&2
\end{array}\right)[/tex]
da qui si vede subito che il sistema non ammette soluzione.. per il punto 1 che ho scritto nel teorema
Teorema di Rouché-Capelli
dato un sistema lineare di m equazioni in n incognite $ A\ul(x)=\ul(b) $ vi sono le seguenti possibilità
se
1) $ rank_A
2) $ rank_A=rank_(A|b) =\alpha $ allora il sistema ha $ \infty^(n-\alpha) $ soluzioni
esempio (dato ad esercitazione)
Risolvere il sistema lineare $ { ( 2x+y-z=1 ),( x+3z=0 ),( 3x+y+2z=2 ):} $
allora riscrivamo il sistema in forma matriciale
[tex]A|b=\left(\begin{array}{ccc|c}
2&1&-1&1\\
1&0&3&0\\
3&1&2&2
\end{array}\right)[/tex]
dopo qualche passaggio (che ometto) con il metodo di Gauss.. ottiene
[tex]A|b=\left(\begin{array}{ccc|c}
2&1&-1&1\\
0&-1&7&-1\\
0&0&0&2
\end{array}\right)[/tex]
da qui si vede subito che il sistema non ammette soluzione.. per il punto 1 che ho scritto nel teorema
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