Disco chiuso non è superficie regolare

[jJjjJ1]

Salve a tutti, devo dire se l'insieme $\{(x,y,z) \in R^3\ :\ x^2 + y^2 <= 1\ ,\ z\ =\ 0\}$ è o meno una superficie regolare.

Io ho pensato di no, ed il mio ragionamento è questo. Considero un punto $p$ sulla frontiera del disco, allora, da definizione di superficie regolare, dovrebbe esistere un intorno $V$ di $p$ e un aperto $U$ di $R^2$ e una mappa $x : U \rightarrow V \cup S$ che è, oltre che C infinito, un omeomorfismo. Allora dovrà essere un omeomorfismo anche la restrizione di $x^{-1}$ ad $V \cup S \\ \{p\}$. Tuttavia si può dimostrare che $V \cup S \\ \{p\}$ è semplicemente connesso, mentre $U\\ x^{-1}(p) $ non lo è.

E' corretto?

[Emar1]

Il tuo ragionamento è corretto (anche se non ho capito cos'è $S$).

Infatti il disco non è una varietà ma bensì una varietà con bordo. In pratica è una restrizione della definizione di varietà. Restrizione perché ogni varietà è anche una varietà con bordo ma non è vero il viceversa.

Se ti disturba la parola "varietà" sostuiscila con "superficie regolare"

Le varietà con bordo sono fondamentali ad esempio per il teorema di Stokes e simili.