Dipendenza/indipendenza lineare tra vettori
Salve a tutti.
Ho un dubbio riguardo l'accertamento della dipendenza/indipendenza lineare tra vettori utilizzando il rango della matrice che si ottiene ordinando i vettori per riga.
Supponiamo d avere i seguenti vettori definiti in R2:
X1 = (1,3); X2 = (2,5); X3 = (1,2); X4 = (3,5).
La matrice che ottengo ordinando per righe ha 4 righe e 2 colonne. Il rango di questa matrice è 2 ed è quindi rango massimo.
Così stando le cose, sembrerebbe che i 4 vettori siano tra loro linearmente indipendenti.
In realtà, poiché il numero dei vettori supera la dimensione dello spazio in cui sono definiti i vettori sono tra loro linearmente dipendenti.
Ma, allora, come si conciliano i due ragionamenti. Ringrazio di cuore che volesse chiarirmi le idee.
Ho un dubbio riguardo l'accertamento della dipendenza/indipendenza lineare tra vettori utilizzando il rango della matrice che si ottiene ordinando i vettori per riga.
Supponiamo d avere i seguenti vettori definiti in R2:
X1 = (1,3); X2 = (2,5); X3 = (1,2); X4 = (3,5).
La matrice che ottengo ordinando per righe ha 4 righe e 2 colonne. Il rango di questa matrice è 2 ed è quindi rango massimo.
Così stando le cose, sembrerebbe che i 4 vettori siano tra loro linearmente indipendenti.
In realtà, poiché il numero dei vettori supera la dimensione dello spazio in cui sono definiti i vettori sono tra loro linearmente dipendenti.
Ma, allora, come si conciliano i due ragionamenti. Ringrazio di cuore che volesse chiarirmi le idee.
Risposte
La pratica standard è metterli per colonne.
Se li metti per righe, contano le righe di zeri sono, ovvero i vettori l.i.
Come hai detto tu, una base di $R^2$ ha al massimo due vettori l.i. e si vede a occhio nudo che sono l.i. a coppie, quindi anche senza usare Gauss si possono scegliere a piacere due vettori che formeranno una base.
Se li metti per righe, contano le righe di zeri sono, ovvero i vettori l.i.
Come hai detto tu, una base di $R^2$ ha al massimo due vettori l.i. e si vede a occhio nudo che sono l.i. a coppie, quindi anche senza usare Gauss si possono scegliere a piacere due vettori che formeranno una base.
Indipendentemente dall’ordinamento per righe o per colonne, ciò che cerco di capire è se il metodo del rango per l’accertamento della dipendenza/indipendenza lineare tra vettori (rango massimo ecc.) è un metodo che ha validità generale oppure no.
Mi sembra di capire che tale metodo risulti applicabile soltanto nel caso in cui il numero di vettori è minore o tuttalpiù uguale alla dimensione dello spazio in cui sono definiti e che, se questa condizione non si verifica, i vettori possono senz’altro considerarsi linearmente dipendenti. E’ così?
Mi sembra di capire che tale metodo risulti applicabile soltanto nel caso in cui il numero di vettori è minore o tuttalpiù uguale alla dimensione dello spazio in cui sono definiti e che, se questa condizione non si verifica, i vettori possono senz’altro considerarsi linearmente dipendenti. E’ così?
Ma no, il rango è la prima cosa … metti i vettori in colonne, riduci a scalini con Gauss, conti i pivot: se sono meno dei vettori questi NON sono indipendenti fra loro.
Ringrazio Bokonon e axpgn per il loro contributo nell'aiutarmi a riflettere. In effetti il cosiddetto "metodo del rango"
è pienamente giustificato quando il numero dei vettori è inferiore o uguale alla dimensione dello spazio in cui sono definiti.
Ma la vera sintesi di tutto è che se il rango è inferiore al numero dei vettori essi sono linearmente dipendenti.
Grazie ancora a tutti.
è pienamente giustificato quando il numero dei vettori è inferiore o uguale alla dimensione dello spazio in cui sono definiti.
Ma la vera sintesi di tutto è che se il rango è inferiore al numero dei vettori essi sono linearmente dipendenti.
Grazie ancora a tutti.
Dovrai rifletterci ancora un po'
Ragazzo la dimensione di uno spazio sono i suoi vettori linearmente indipendenti.
Puoi costruire una base dello spazio 2dim individuando due vettori l'in. ind.
Se lo spazio è infinito dimensionale ancora hai una base (se ammetti l'assioma della scelta) è saranno infinito numerabile i vettori linearmente indipendenti. L'esistenza della base dipenderà molto dal tipo di spazio, per esempio in uno spazio completo puoi avere criteri di convergenza di serie che sono molto comode per rappresentare vettori.
Il rango sono i vettori linearmente indipendenti di una matrice (trasformazione, Applicazione).
Se è quadrata basta che il determinante sia diverso da zero è i vettori, riga o colonna che siano sono indipendenti.
Va da se che se la dimensione e' 3 è il rango e' 2 ovviamente ti manca un vettore è non puoi generare tutto lo spazio.
Se la dimensione è due, il rango non puo' essere 3.
Una volta che hai una base, qualsiasi vettore si esprime in modo unico come combinazione di questi
Puoi costruire una base dello spazio 2dim individuando due vettori l'in. ind.
Se lo spazio è infinito dimensionale ancora hai una base (se ammetti l'assioma della scelta) è saranno infinito numerabile i vettori linearmente indipendenti. L'esistenza della base dipenderà molto dal tipo di spazio, per esempio in uno spazio completo puoi avere criteri di convergenza di serie che sono molto comode per rappresentare vettori.
Il rango sono i vettori linearmente indipendenti di una matrice (trasformazione, Applicazione).
Se è quadrata basta che il determinante sia diverso da zero è i vettori, riga o colonna che siano sono indipendenti.
Va da se che se la dimensione e' 3 è il rango e' 2 ovviamente ti manca un vettore è non puoi generare tutto lo spazio.
Se la dimensione è due, il rango non puo' essere 3.
Una volta che hai una base, qualsiasi vettore si esprime in modo unico come combinazione di questi
"Antonio Mantovani":
Ragazzo la dimensione di uno spazio sono i suoi vettori linearmente indipendenti.
Questa frase è imprecisa. La dimensione di uno spazio vettoriale è la cardinalità di una sua base.
Be vero, li si conta, ma era quello il senso
"Tye4":
Il rango di questa matrice è 2 ed è quindi rango massimo.
Così stando le cose, sembrerebbe che i 4 vettori siano tra loro linearmente indipendenti.
E no. Il rango è 2 e quindi si possono scegliere tra i quattro vettori due, che sono linearmente indipendenti, e gli altri saranno combinazione lineare di questi due.
Probabilmente qualcuno l'ha già detto prima di me (non ho letto tutta la discussione) ma immagino che repetita iuvant.
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