Dipendenza lineare in matrici/sistemi

[valentina921]

Salve a tutti,
tra pochi giorni ho il mio primo esonero di geometria, e come se un po' di paura non bastasse, mentre studio mi vengono i dubbi anche sulle cose più semplici.

Volevo chiarire questo punto: una matrice $A in M_{m,n} (RR)$ , che ha cioè n righe e m colonne, rappresenta sempre un sistema lineare a n equazioni e m incognite?

E poi, se un sistema lineare ha n equazioni ed m incognite, con $n>m$, queste equazioni non sono sempre linearmente dipendenti, giusto? Oppure almeno una è inutile?E il fatto che il numero di righe linearmente indipendenti coincide con il numero di colonne linearmente indipendenti vale per qualsiasi matrice, quadrata o rettangolare che sia?

Mi sto facendo venire dei dubbi atroci, chiedo scusa perchè mi rendo conto che si tratta di cose estremamente elementari, ma sono in un momento di sconforto.

Grazie in per la disponibilità che mostrate sempre

Valentina

[valentina921]

Ok... però, riguardo all'ultima delle domande che ho fatto, io so anche che data una matrice A, il rango della sua trasposta è uguale al rango di A stessa; ma a questo punto, ci sarebbero più colonne che righe, e nel sistema lineare ci sarebbero più incognite che equazioni, e quindi anche queste dovrebbero essere linearmente indipendenti?

Cito l'esempio che mi ha creato tutto questo caos:

$U=Span (|(1),(0),(1),(4)|,|(2),(1),(1),(3)|,|(-1),(-1),(1),(6)|)$

$V=Span (|(1),(3),(3),(1)|,|(2),(4),(3),(0)|,|(0),(2),(-3),(-2)|)$

I vettori dello Span di U sono linearmente indipendenti fra loro, e lo stesso vale per quelli dello Span di V; però se li metto in una matrice trasposta, una riga se ne va. Perchè?

[valentina921]

Aaah e certo, i pivot devono essere 3! L'ansia fa brutti scherzi! Adesso ci sono.

Grazie ancora per la pazienza