Dipendenza lineare e rango di una matrice
Ho una domanda, forse un po' banale, riguardo l'indipendenza lineare e il rango di una matrice. Dalle dispense su cui ho studiato c'è scritto che, dati $v_1,v_2,...,v_n$ vettori e considerata la matrice associata $A$, avente i vettori dati come vettori colonna, $v_1,v_2,...,v_n$ sono linearmente indipendenti $<=> r(A)=n$.
Ma se io considero 4 vettori di tre componenti, ad esempio $v_1=(x,y,z), v_2=(x_2,y_2,z_2), v_3=(x_3,y_3,z_3), v_4=(x_4,y_4,z_4)$ e la relativa matrice dei vettori $((x,x_2,x_3,x_4), (y,y_2,y_3,y_4), (z,z_2,z_3,z_4))$, questa può avere rango al massimo $3$. Quindi immagino che la caratterizzazione di sopra valga se $n<=m$, dove $n$ è il numero di vettori e $m$ il numero delle componenti vettoriali, e quindi il generico vettore sarebbe $v_i=(x_1,x_2,...,x_n,...,x_m)$. E' corretto?
Ma se io considero 4 vettori di tre componenti, ad esempio $v_1=(x,y,z), v_2=(x_2,y_2,z_2), v_3=(x_3,y_3,z_3), v_4=(x_4,y_4,z_4)$ e la relativa matrice dei vettori $((x,x_2,x_3,x_4), (y,y_2,y_3,y_4), (z,z_2,z_3,z_4))$, questa può avere rango al massimo $3$. Quindi immagino che la caratterizzazione di sopra valga se $n<=m$, dove $n$ è il numero di vettori e $m$ il numero delle componenti vettoriali, e quindi il generico vettore sarebbe $v_i=(x_1,x_2,...,x_n,...,x_m)$. E' corretto?
Risposte
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"sellacollesella":
quindi quei vettori sono sicuramente linearmente dipendenti tra loro, fine.
Perché?
Cioè il fatto di non poter avere 4 vettori di 3 componenti tutti linearmente indipendenti mi sembra un risultato interessante. Perché esiste sempre una combinazione lineare nulla a coefficienti non tutti nulli?
Io so che tutti i vettori di $RR^3$ sono generati da questi: $v_1(1,0,0)$, $v_2(0,1,0)$ e $v_3(0,0,1)$ e questi ultimi sono ovviamenti tutti linearmente indipendenti. Quindi almeno 2 di quei 4 vettori di 3 componenti li posso generare dallo stesso vettore generatrice, e questo potrebbe significare che siano linearmente dipendenti. Il ragionamento è questo?
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"sellacollesella":
[quote="HowardRoark"]Perché?
Perché \(\rho_{\max}(A) = 3 < n = 4\).[/quote]
Ma se io definisco il rango di una matrice come l'ordine massimo di minori non nulli, quello che hai scritto dovresti dimostrarlo. E' come dire "un triangolo è isoscele se e solo se ha due angoli congruenti": se io prendo la definizione di triangolo isoscele come triangolo con due lati congruenti, la prima definizione che ho scritto dovrei dimostrarla.
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"sellacollesella":
Qualsiasi matrice \(A\) con \(m\) righe ed \(n\) colonne ha rango tale che: \[
0 \le \text{rk}(A) \le \min(m,n).
\]
E questo è chiaro, se io definisco il rango come l'ordine massimo dei minori non nulli della matrice.
"sellacollesella":
Ora, secondo il teorema che hai riportato, affinché \(n\) vettori colonna siano linearmente indipendenti deve tassativamente risultare \(\text{rk}(A)=n\).
Questo è il passaggio che mi sfugge. Secondo il teorema è così ma non riesco a capirne bene il motivo.
"sellacollesella":.
Questa è praticamente la lezione zero di algebra lineare sul rango di una matrice
Ci tengo a specificare che io non ho dato alcun esame di algebra lineare; piuttosto ho sostenuto un esame di matematica dove c'erano alcune nozioni di algebra lineare, ma le abbiamo liquidate nel giro di 4 lezioni e non abbiamo dimostrato praticamente nulla di quanto detto, per questo ho le idee molto confuse. Abbi pazienza se scrivo cose che per te sono banalità
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"sellacollesella":
Purtroppo oltre io non so andare, aspetta l'aiuto di qualche esperto che qui nel forum c'è di sicuro.
Spiacente deludervi, forse vi aspettavate qualche esperto migliore di me, ma questo passa il convento
"HowardRoark":
[quote="sellacollesella"] quindi quei vettori sono sicuramente linearmente dipendenti tra loro, fine.
Perché?
Cioè il fatto di non poter avere 4 vettori di 3 componenti tutti linearmente indipendenti mi sembra un risultato interessante.
[/quote]
Non solo è interessante, ma è basilare. Suona come se uno dicesse: ho sentito di un certo Teorema di Pitagora, mi pare interessante
Scusa, scherzo, per sottolinearlo: la tua osservazione è acuta, e si riferisce a un concetto fondamentale e teoremi connessi, che bisogna andare a rivedere nella teoria, se non li hai fatti (mi sa che è colpa dei maledetti economisti
), il concetto di base di uno spazio vettoriale:Ti faccio una carrellata sommaria, giusto per darti un’idea della logica della questione, ovviamente va studiato, volendo, per esteso su un libro.
Credo che ricordi la definizione di base, comunque la riporto per comodità:
Definizione. Base. Sia $V$ uno spazio vettoriale. Un insieme [nota]Per la precisione, alcuni libri parlano non di insieme ma di successioni di vettori $v_1, ..,v_n$, cioè conta pure l’ordine, a seconda dell’ordine si parla di una base diversa. Ma per un insieme finito di vettori la proprietà di formare una base è indipendente dall’ordine dei vettori, e altri libri non fanno questa distinzione. Si parla per lo più di spazi di dimensione finita (se hai curiosità, vedi il libro di Algebra lineare di Manetti, che tende in genere a essere più ‘sofistico’ nelle distinzioni. Ma da sconsigliare come libro basic.)[/nota] $B=\{v_1, …v_n\}$ di vettori di $V$ è una base di $V$ se:
1) $V=Span (v_1, …v_n)$, cioè $v_1, …v_n$ sono un sistema di generatori di $V$.
2) $v_1, …v_n$ sono linearmente indipendenti.
Span o sistema di generatori vuol dire che ogni vettore dello spazio può essere scritto come loro combinazione lineare.
Dopodiché ci sono altri teoremi, che salto, che consentono la definizione di dimensione di uno spazio vettoriale come il numero di vettori che compongono una base.
Dopodiché si dimostra
1) Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione $n$. Allora ogni $n$-pla di vettori linearmente indipendente è una base.
2) la dimensione di uno spazio vettoriale $V$ è il numero massimo di vettori linearmente indipendenti in $V$. Detto in altri termini:
Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione $n$, e $w_1, ..., w_p \in V$. Se $p>n$ , allora $w_1, ..., w_p $ sono linearmente dipendenti.
Il punto $2)$ è quello che ci interessa per la questione del rango di una matrice: in uno spazio vettoriale di dimensione $n$ puoi prendere al più $n$ vettori linearmente indipendenti, se ce ne aggiungi un altro hai un insieme di vettori linearmente dipendente.
Quindi, nella tua matrice che hai scritto sopra, hai vettori di tre elementi, cioè vettori di $\mathbb{R}^3$, che ha dimensione $3$.
Quindi più di $3$ vettori linearmente indipendenti in $\mathbb{R}^3$ non puoi avere. Quattro o più vettori saranno sempre linearmente dipendenti.
Quindi, come magia, vedi perché il rango della matrice non può essere maggiore del minimo tra il numero di righe e il numero di colonne.
$$***$$
La dimostrazione del punto $2)$ è abbastanza semplice:
Prendiamo i primi $n$ ($n$ è la dimensione dello spzio) vettori, $w_1,…w_n$. Se sono linearmente dipendenti abbiamo finito.
Altrimenti, per il punto $1$ sono una base.
Ma allora ogni vettore $w_(n+1), …w_p$ può essere scritto come combinazione lineare dei vettori della base $ w_1, …, w_n$, e quindi i vettori $w_1,…w_n, w_(n+1), …w_p$ sono linearmente dipendenti.
Infatti:
essendo una base un insieme di generatori si può scrivere, per qualsiasi $w_i$ con $i=n+1, ..., p$
$w_i= \alpha_1 w_1+...+\ alpha_n w_n$.
Quindi si ha
$w_i- \alpha_1 w_1-...-\ alpha_n w_n=0$,
che è un relazione di dipendenza lineare tra $w_i, w_1, ...w_n$.
(nota che il coefficiente di $w_i$ è $1$, che non è nullo).
"gabriella127":
Credo che ricordi la definizione di base, comunque la riporto per comodità:
No perché a lezione non l'abbiamo proprio vista. Forse se non capisco bene la teoria è perché in questa materia ho proprio i buchi neri in testa, quindi non me ne faccio nemmeno un cruccio
"gabriella127":
Definizione. Base. Sia $V$ uno spazio vettoriale. Un insieme $B=\{v_1, …v_n\}$ di vettori di $V$ è una base di $V$ se:
1) $V=Span (v_1, …v_n)$, cioè $v_1, …v_n$ sono un sistema di generatori di $V$.
2) $v_1, …v_n$ sono linearmente indipendenti.
Span o sistema di generatori vuol dire che ogni vettore dello spazio può essere scritto come loro combinazione lineare.
Ignoravo cosa fosse uno span, ti ringrazio di averlo riportato.
"gabriella127":
1) Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione $n$. Allora ogni $n$-pla di vettori linearmente indipendente è una base.
Quindi perché aggiungere il concetto di span? Se basta la lineare indipendenza a definire una base perché non utilizzare solo quella?
"gabriella127":
2) la dimensione di uno spazio vettoriale $V$ è il numero massimo di vettori linearmente indipendenti in $V$. Detto in altri termini:
Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione $n$, e $w_1, ..., w_p \in V$. Se $p>n$ , allora $w_1, ..., w_p $ sono linearmente dipendenti.
Questo è il punto cruciale di questo thread
."gabriella127":
La dimostrazione del punto $2)$ è abbastanza semplice:
Prendiamo i primi $n$ ($n$ è la dimensione dello spzio) vettori, $w_1,…w_n$. Se sono linearmente dipendenti abbiamo finito.
Altrimenti, per il punto $1$ sono una base.
Secondo me per essere proprio rigorosi andrebbe dimostrato anche il punto 1, che a me comunque sembra abbastanza intuitivo, però non voglio allungare troppo questo thread, perché è evidente che mi manchino molti pezzi di teoria (d'altronde algebra lineare non l'ho praticamente studiata, ho solo visto poche nozioni in un esame chiamato "matematica generale", che era da 9 crediti e comprendeva anche la parte di "analisi"), che ora purtroppo non ho assolutamente il tempo di colmare.
Ti ringrazio comunque per la risposta dettagliata, l'ho apprezzata molto!
"sellacollesella":
Nella fattispecie, si dice che \(n\) vettori \(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\dots,\mathbf{v}_n\) di uno spazio vettoriale \(V\) su un campo \(\mathbb{K}\) sono linearmente indipendenti tra loro se prendendo \(n\) scalari \(c_1,c_2,\dots,c_n \in \mathbb{K}\) l'uguaglianza \(c_1\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2+\dots+c_n\mathbf{v}_n=\mathbf{0}\) risulta soddisfatta se e solo se \(c_1=c_2=\dots=c_n=0\).
Non so bene cosa sia un campo e posso solo intuire cosa sia uno spazio vettoriale, ma oltre questo la definizione è chiarissima.
"sellacollesella":
Pertanto, se prendiamo in considerazione un esempio simile a quello che hai proposto, ossia: \[
\mathbf{v}_1=(1,2,3),
\quad
\mathbf{v}_2=(4,5,6),
\quad
\mathbf{v}_3=(7,8,9),
\quad
\mathbf{v}_4=(10,11,12)
\] è sufficiente osservare che, ad esempio: \[
(0)\mathbf{v}_1 + (1)\mathbf{v}_2 + (-2)\mathbf{v}_3 + (1)\mathbf{v}_4 = \mathbf{0}
\] per asserire che i quattro vettori di \(\mathbb{R}^3\) considerati sono linearmente dipendenti tra loro. Fine.
Vero, però è un esempio specifico ed io all'inizio speravo di capire perché fosse vero in generale.
"sellacollesella":
\[
A\begin{bmatrix}
c_1 \\
c_2 \\
\dots \\
c_n
\end{bmatrix}
=\mathbf{0}
\] e si richiede che l'unica soluzione di tale sistema lineare sia quella banale, ossa \(c_1=c_2=\dots=c_n=0\).
In tal modo la faccenda è presto risolta in quanto, per il teorema di Rouché-Capelli, ciò accade se e solo se: \[
\text{rk}(A|\mathbf{0}) = \text{rk}(A) = n
\] e dato che l'uguaglianza \(\text{rk}(A|\mathbf{0}) = \text{rk}(A)\) è sempre vera ci si riduce a richiedere: \[
\text{rk}(A) = n
\] che è esattamente quanto asserito dal corollario riportato nelle tue dispense.
Ero a conoscenza di queste nozioni, però sinceramente non riuscivo a capire perché, ad esempio, il fatto che su $RR^3$ non ci possano essere più di 3 vettori linearmente indipendenti ne fosse un corollario.
"sellacollesella":
Va da sé che per capire il perché ciò sia vero tocca passare per la dimostrazione del suddetto teorema e su questo io non ci metto becco
Hai già fatto moltissimo, ti ringrazio per questo e per gli altri interventi sui miei altri thread. Continuerò a postare qualora dovessi avere ancora dubbi su qualcosa (e me ne verranno sicuramente molti): quello che riesco a capire capisco altrimenti rimanderò l'approfondimento di certe questioni nel futuro prossimo, perché ora purtroppo mi manca proprio il tempo di farlo.
Certo che va dimostrato anche il punto 1, va dimostrato e definito tutto per bene, ma ci vuole un libro, mica so' due paginette! Io ho dato giusto qualche indicazione sintetica per darti il senso di come possono funzionare le cose, ma è teoria, cose impicciose, da studiare con calma.
Vedo quindi che di teoria non hai fatto proprio niente, se non ti hanno fatto fare cos'è una base, concetto fondamentale. Vuol dire che di teoria vi hanno insegnato tra lo $0$ e il sottozero. Sì, è possibile anche il sottozero , cioè insegnare cose tali che dopo uno ha le idee più confuse che se non avesse fatto niente.
C'è un lato di scherzo, ma io per economia ci sono passata, quindi so che di algebra lineare si fa poco o niente, ma per un fatto pratico.
Da punto di vista pratico in effetti al momento veramente di algebra lineare serve poco, più che altro ti servirà per econometria, ma là si tratta soprattutto di saper manipolare le matrici, la notazione può essere pesante, ma teoria di algebra lineare al momento molto poco.
Per quanto riguarda lo span, eccerto che ci vuole, nella definizione di base sopra, se consideri solo un insieme arbitrario di vettori linearmente indipendenti non è detto che generino (con le combinazioni lineari) tutto lo spazio, ogni vettore dello spazio deve essere esprimibile come combinazione lineare della base in considerazione.
Span viene proprio da to span, coprire, abbracciare, estendersi su, come sostantivo ciò che viene abbracciato, l'estensione.
Quello che c'è dopo è un teorema dato in base alla definizione.
Ma sono cose che non si possono spiegare in due parole.
Ma al momento, a meno che tu non abbia un interesse specifico personale, non te ne preoccupare.
Tieni presente solo che quello che stai facendo di algebra lineare è un lato pratico che può servire per altre materie, ma nulla di più.
[edit] Ora noto che non hai fatto nemmeno la definizione di spazio vettoriale, quindi, niente, lascia stare la teoria.
La definizione di spazio vettoriale è una definizione algebrica astratta: un insieme $V$ parapà parapà, si dice spazio vettoriale su un campoparapà, se su di esso sono definite le operazioni parapà, con le seguenti proprietà parapàparapàparapà. Ecco, al momento ti basta questo
Vedo quindi che di teoria non hai fatto proprio niente, se non ti hanno fatto fare cos'è una base, concetto fondamentale. Vuol dire che di teoria vi hanno insegnato tra lo $0$ e il sottozero. Sì, è possibile anche il sottozero
, cioè insegnare cose tali che dopo uno ha le idee più confuse che se non avesse fatto niente.C'è un lato di scherzo, ma io per economia ci sono passata, quindi so che di algebra lineare si fa poco o niente, ma per un fatto pratico.
Da punto di vista pratico in effetti al momento veramente di algebra lineare serve poco, più che altro ti servirà per econometria, ma là si tratta soprattutto di saper manipolare le matrici, la notazione può essere pesante, ma teoria di algebra lineare al momento molto poco.
Per quanto riguarda lo span, eccerto che ci vuole, nella definizione di base sopra, se consideri solo un insieme arbitrario di vettori linearmente indipendenti non è detto che generino (con le combinazioni lineari) tutto lo spazio, ogni vettore dello spazio deve essere esprimibile come combinazione lineare della base in considerazione.
Span viene proprio da to span, coprire, abbracciare, estendersi su, come sostantivo ciò che viene abbracciato, l'estensione.
Quello che c'è dopo è un teorema dato in base alla definizione.
Ma sono cose che non si possono spiegare in due parole.
Ma al momento, a meno che tu non abbia un interesse specifico personale, non te ne preoccupare.
Tieni presente solo che quello che stai facendo di algebra lineare è un lato pratico che può servire per altre materie, ma nulla di più.
[edit] Ora noto che non hai fatto nemmeno la definizione di spazio vettoriale, quindi, niente, lascia stare la teoria.
La definizione di spazio vettoriale è una definizione algebrica astratta: un insieme $V$ parapà parapà, si dice spazio vettoriale su un campoparapà, se su di esso sono definite le operazioni parapà, con le seguenti proprietà parapàparapàparapà. Ecco, al momento ti basta questo
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"sellacollesella":
Anche la mia preparazione in algebra è scandalosamente infima, dato che io studio ingegneria e non matematica all'università, non immagino nemmeno il voltastomaco di matematici di primo livello come megas_archon, Martino, j18eos, ... nel leggere le mie risposte poco più che improvvisate!
Niente paura, ogni volta che entro qui prendo un antiemetico!
La mia maniera preferita di vedere l'uguaglianza tra rango per righe e rango per colonne usa la dualità.
[ot]
Giusto per cronaca: la prof.sa numero 1 scriveva troppo per i miei gusti, la numero 2 ***; la prof.sa numero 3 è fuori di testa come me, quindi ci siamo capiti sùbito![/ot]
"sellacollesella":Ciccia, io ho superato l'esame di algebra lineare con la prof.sa numero 3... e t'ho scritto tutto!
Anche la mia preparazione in algebra è scandalosamente infima, dato che io studio ingegneria e non matematica all'università, non immagino nemmeno il voltastomaco di matematici di primo livello come megas_archon, Martino, j18eos, ...[nota]axpgn non ho ancora capito che lavoro faccia o abbia fatto, ma è sicuramente più qualificato di me.[/nota] nel leggere le mie risposte poco più che improvvisate![...]
Giusto per cronaca: la prof.sa numero 1 scriveva troppo per i miei gusti, la numero 2 ***; la prof.sa numero 3 è fuori di testa come me, quindi ci siamo capiti sùbito!
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