Dipendenza lineare e isomorfismo
Buongiorno a tutti...
La traccia di una domanda teorica del libro è la seguente:
1) Dimostrare che un sistema \(\displaystyle X \) di vettori di $V_n$\(\displaystyle (K) \) è linearmente dipendente se, e soltanto se, $c_B$\(\displaystyle (X) \) è un sistema di vettori di $K^n$ linearmente dipendente.
Questo tipo di dimostrazioni non so proprio come iniziarle...
P.S $c_B$\(\displaystyle (X) \) è un insomorfismo coordinato.
La seconda traccia e più pratica. Vorrei capire almeno il procedimento, non sono esercizi assegnati o compito, li faccio per capire...
2) Considerata la base \(\displaystyle B=((1,1,0),(-1,0,0),(1,2,-3)) \) di \(\displaystyle R^3\), determinare $c_B$\(\displaystyle (\vec u) \) e $c_B$\(\displaystyle (\vec v) \), dove \(\displaystyle \vec u=(1,2,0) \) e \(\displaystyle \vec v=(1,1,3) \)
L'algebra lineare proprio non mi piace... 
La traccia di una domanda teorica del libro è la seguente:
1) Dimostrare che un sistema \(\displaystyle X \) di vettori di $V_n$\(\displaystyle (K) \) è linearmente dipendente se, e soltanto se, $c_B$\(\displaystyle (X) \) è un sistema di vettori di $K^n$ linearmente dipendente.
Questo tipo di dimostrazioni non so proprio come iniziarle...
P.S $c_B$\(\displaystyle (X) \) è un insomorfismo coordinato.
La seconda traccia e più pratica. Vorrei capire almeno il procedimento, non sono esercizi assegnati o compito, li faccio per capire...
2) Considerata la base \(\displaystyle B=((1,1,0),(-1,0,0),(1,2,-3)) \) di \(\displaystyle R^3\), determinare $c_B$\(\displaystyle (\vec u) \) e $c_B$\(\displaystyle (\vec v) \), dove \(\displaystyle \vec u=(1,2,0) \) e \(\displaystyle \vec v=(1,1,3) \)
L'algebra lineare proprio non mi piace...
Risposte
Per il primo quesito, su due piedi mi viene in mente questo modo di procedere:
- Proposizione A: " $X={vec(v_1), ... , vec(v_k)}$ vettori di $V$ linearmente dipendenti "
- Proposizione B: " $c_B(X)={c_B(vec(v_1)), ... , c_B(vec(v_k))}$ n-ple di coordinate dei vettori di $X$, linearmente dipendenti "
- Legame: $A hArr B$ (A è condizione necessaria e sufficiente per B; puoi leggerla anche al contrario: B è condizione necessaria e sufficiente per A)
Dimostriamo $A rArr B$ (A è condizione sufficiente per B, ovvero B è necessaria per A)
Supponendo A vera, dimostriamo che è vera B.
Se A è vera, significa che i vettori di X sono lin.dip. e quindi, per scrivere il vettore nullo di $V$ come combinazione lineare dei k vettori di X, non sono necessari k scalari $alpha_1, ... , alpha_k$ tutti nulli.
$EE alpha_1, ... , alpha_k in K $ non tutti nulli tali che: $alpha_1 vec(v_1) + ... + alpha_k vec(v_k) = vec(0) in V$
Poiché $c_B$ è lineare, allora:
1. $c_B(vec(0))=0 in K^n$ al vettore nullo di $V$, assegna il vettore nullo di $K^n$
2. $c_B(alpha_1 vec(v_1) + ... + alpha_k vec(v_k))=alpha_1c_B(vec(v_1)) + ... + alpha_k c_B(vec(v_k))$
Unendo la 1 alla 2 ottieni:
$alpha_1c_B(vec(v_1)) + ... + alpha_k c_B(vec(v_k)) = 0 in K^n$
Ovvero stai costruendo la n-pla di tutti zeri di $K^n$ (il vettore nullo di $K^n$), facendo una combinazione lineare di k vettori di $K^n$ (le n-ple di coordinate $c_B(vec(v_1)), ... , c_B(vec(v_k))$) usando coefficienti non tutti nulli, e quindi $c_B(vec(v_1)), ... , c_B(vec(v_k))$ sono lin. dipendenti.
Pertanto partendo da A vera, hai ottenuto B vera, e quindi A è sufficiente per B.
Dimostriamo $A lArr B$ (A è condizione necessaria per B, ovvero B è sufficiente per A)
Supponendo B vera, dimostriamo che è vera A.
Se B è vera, significa che le n-ple $c_B(vec(v_1)), ... , c_B(vec(v_k))$ sono lin.dip. in $K^n$ e quindi, per scrivere il vettore nullo di $K^n$ come combinazione lineare di queste, non sono necessari k scalari $alpha_1, ... , alpha_k$ tutti nulli.
$EE alpha_1, ... , alpha_k in K $ non tutti nulli tali che: $alpha_1 c_B(vec(v_1)) + ... + alpha_k c_B(vec(v_k)) = vec(0) in K^n$
Poiché $c_B$ è un isomorfismo, allora è lineare e biettivo e perciò:
1. $c_B^(-1)(vec(0))=0 in V$ al vettore nullo di $K^n$, assegna il vettore nullo di $V$
2. $c_B^(-1)(alpha_1 c_B(vec(v_1)) + ... + alpha_k c_B(vec(v_k)))=alpha_1vec(v_1) + ... + alpha_k vec(v_k)$
Unendo la 1 alla 2 ottieni:
$alpha_1vec(v_1) + ... + alpha_k vec(v_k) = 0 in V$
Ovvero stai costruendo il vettore nullo di $V$, facendo una combinazione lineare di k vettori di $V$, usando coefficienti non tutti nulli, e quindi $vec(v_1), ... , vec(v_k)$ sono lin. dipendenti.
Pertanto partendo da B vera, hai ottenuto A vera, e quindi B è sufficiente per A, ovvero A è necessaria per B.
Quindi A è condizione necessaria e sufficiente per B.
------------------------------
Nel secondo esercizio, avendo i tre vettori della base $B$, devi determinare le coordinate con cui questi generano tramite
combinazione lineare i vettori $vec(u)$ e $vec(v)$.
Quindi:
$vec(u)=((1),(2),(0))=x_1((1),(1),(0))+x_2((-1),(0),(0))+x_3((1),(2),(-3))$
Sistema 3 equazioni, 3 incognite:
$ { ( x_1-x_2+x_3=1 ),( x_1+2x_3= 2 ),( -3x_3 = 0):} $
Risolvi banalmente e ottieni i coefficienti del vettore $vec(u)$ nella base $B$.
Analogamente per il vettore $vec(v)$.
----------
ps. spero di non aver sbagliato qualcosa..
Ciao, Shun.
- Proposizione A: " $X={vec(v_1), ... , vec(v_k)}$ vettori di $V$ linearmente dipendenti "
- Proposizione B: " $c_B(X)={c_B(vec(v_1)), ... , c_B(vec(v_k))}$ n-ple di coordinate dei vettori di $X$, linearmente dipendenti "
- Legame: $A hArr B$ (A è condizione necessaria e sufficiente per B; puoi leggerla anche al contrario: B è condizione necessaria e sufficiente per A)
Dimostriamo $A rArr B$ (A è condizione sufficiente per B, ovvero B è necessaria per A)
Supponendo A vera, dimostriamo che è vera B.
Se A è vera, significa che i vettori di X sono lin.dip. e quindi, per scrivere il vettore nullo di $V$ come combinazione lineare dei k vettori di X, non sono necessari k scalari $alpha_1, ... , alpha_k$ tutti nulli.
$EE alpha_1, ... , alpha_k in K $ non tutti nulli tali che: $alpha_1 vec(v_1) + ... + alpha_k vec(v_k) = vec(0) in V$
Poiché $c_B$ è lineare, allora:
1. $c_B(vec(0))=0 in K^n$ al vettore nullo di $V$, assegna il vettore nullo di $K^n$
2. $c_B(alpha_1 vec(v_1) + ... + alpha_k vec(v_k))=alpha_1c_B(vec(v_1)) + ... + alpha_k c_B(vec(v_k))$
Unendo la 1 alla 2 ottieni:
$alpha_1c_B(vec(v_1)) + ... + alpha_k c_B(vec(v_k)) = 0 in K^n$
Ovvero stai costruendo la n-pla di tutti zeri di $K^n$ (il vettore nullo di $K^n$), facendo una combinazione lineare di k vettori di $K^n$ (le n-ple di coordinate $c_B(vec(v_1)), ... , c_B(vec(v_k))$) usando coefficienti non tutti nulli, e quindi $c_B(vec(v_1)), ... , c_B(vec(v_k))$ sono lin. dipendenti.
Pertanto partendo da A vera, hai ottenuto B vera, e quindi A è sufficiente per B.
Dimostriamo $A lArr B$ (A è condizione necessaria per B, ovvero B è sufficiente per A)
Supponendo B vera, dimostriamo che è vera A.
Se B è vera, significa che le n-ple $c_B(vec(v_1)), ... , c_B(vec(v_k))$ sono lin.dip. in $K^n$ e quindi, per scrivere il vettore nullo di $K^n$ come combinazione lineare di queste, non sono necessari k scalari $alpha_1, ... , alpha_k$ tutti nulli.
$EE alpha_1, ... , alpha_k in K $ non tutti nulli tali che: $alpha_1 c_B(vec(v_1)) + ... + alpha_k c_B(vec(v_k)) = vec(0) in K^n$
Poiché $c_B$ è un isomorfismo, allora è lineare e biettivo e perciò:
1. $c_B^(-1)(vec(0))=0 in V$ al vettore nullo di $K^n$, assegna il vettore nullo di $V$
2. $c_B^(-1)(alpha_1 c_B(vec(v_1)) + ... + alpha_k c_B(vec(v_k)))=alpha_1vec(v_1) + ... + alpha_k vec(v_k)$
Unendo la 1 alla 2 ottieni:
$alpha_1vec(v_1) + ... + alpha_k vec(v_k) = 0 in V$
Ovvero stai costruendo il vettore nullo di $V$, facendo una combinazione lineare di k vettori di $V$, usando coefficienti non tutti nulli, e quindi $vec(v_1), ... , vec(v_k)$ sono lin. dipendenti.
Pertanto partendo da B vera, hai ottenuto A vera, e quindi B è sufficiente per A, ovvero A è necessaria per B.
Quindi A è condizione necessaria e sufficiente per B.
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Nel secondo esercizio, avendo i tre vettori della base $B$, devi determinare le coordinate con cui questi generano tramite
combinazione lineare i vettori $vec(u)$ e $vec(v)$.
Quindi:
$vec(u)=((1),(2),(0))=x_1((1),(1),(0))+x_2((-1),(0),(0))+x_3((1),(2),(-3))$
Sistema 3 equazioni, 3 incognite:
$ { ( x_1-x_2+x_3=1 ),( x_1+2x_3= 2 ),( -3x_3 = 0):} $
Risolvi banalmente e ottieni i coefficienti del vettore $vec(u)$ nella base $B$.
Analogamente per il vettore $vec(v)$.
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ps. spero di non aver sbagliato qualcosa..
Ciao, Shun.
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