Dipendenza lineare di un vettore
Ciao a tutti. Ho questo esercizio. In M2(R) dato
$ A = ((1, 2),(1,-2) ), ((1, 1),(3,-1)), ((2, 1),(-1,3)), ((1, 2),(-8,2)) $
determinare $ L(A) $ (copertura lineare) e $ dimL(A) $
la soluzione dice: Il sistema A è legato, infatti $ ((1, 2),(-8,2)) $ dipende linearmente dagli altri elementi, pertanto
$ L(A) = L( $$((1, 2),(1,-2) ), ((1, 1),(3,-1)), ((2, 1),(-1,3))$$) $
e
$ dimL(A) = 3 $
Dalla teoria so che un vettore dipende linearmente dagli altri se è esprimibile come combinazione lineare degli altri.
Ma come faccio a determinarlo? E come faccio ad accorgermene subito? Io sarei partito facendo la normale combinazione lineare:
$ L(A) = a((1, 2),(1,-2) ) + b((1, 1),(3,-1)) + c((2, 1),(-1,3)) + d((1, 2),(-8,2)) $
Grazie
$ A = ((1, 2),(1,-2) ), ((1, 1),(3,-1)), ((2, 1),(-1,3)), ((1, 2),(-8,2)) $
determinare $ L(A) $ (copertura lineare) e $ dimL(A) $
la soluzione dice: Il sistema A è legato, infatti $ ((1, 2),(-8,2)) $ dipende linearmente dagli altri elementi, pertanto
$ L(A) = L( $$((1, 2),(1,-2) ), ((1, 1),(3,-1)), ((2, 1),(-1,3))$$) $
e
$ dimL(A) = 3 $
Dalla teoria so che un vettore dipende linearmente dagli altri se è esprimibile come combinazione lineare degli altri.
Ma come faccio a determinarlo? E come faccio ad accorgermene subito? Io sarei partito facendo la normale combinazione lineare:
$ L(A) = a((1, 2),(1,-2) ) + b((1, 1),(3,-1)) + c((2, 1),(-1,3)) + d((1, 2),(-8,2)) $
Grazie
Risposte
"dark.hero":Si, può andare bene.
...Io sarei partito facendo la normale combinazione lineare:
$ L(A) = a((1, 2),(1,-2) ) + b((1, 1),(3,-1)) + c((2, 1),(-1,3)) + d((1, 2),(-8,2)) $
In questo modo puoi stabilire se gli elementi sono linearmente indipendenti
$a((1, 2),(1,-2) ) + b((1, 1),(3,-1)) + c((2, 1),(-1,3)) + d((1, 2),(-8,2)) =((0,0),(0,0))<=>...$
Se ti viene che $a=b=c=d=0$, allora sono lin. indip. Altrimenti non lo sono
ok. trovo correttamente che il sistema è legato. ma come faccio a capire quale dei vettori dipende dagli altri?
grazie per l'aiuto
grazie per l'aiuto
Primo: non stiamo parlando di vettori, ma di matrici.
Secondo: quanto ti vengono $a,b,c,d$? Risposto a questo, hai automaticamente la risposta alla tua domanda
Secondo: quanto ti vengono $a,b,c,d$? Risposto a questo, hai automaticamente la risposta alla tua domanda
ho provato a risolverlo a mano e con derive. il risultato è
$ a+2d=0 $
$ b-3d=0 $
$ c+d=0 $
ma adesso?
grazie
$ a+2d=0 $
$ b-3d=0 $
$ c+d=0 $
ma adesso?
grazie
Non ho ben capito come ti è venuto quel risultato.
$a((1, 2),(1,-2) ) + b((1, 1),(3,-1)) + c((2, 1),(-1,3)) + d((1, 2),(-8,2)) =((0,0),(0,0))<=>{(a+b+2c+d=0),(2a+b+c+2d=0),(a+3b-c-8d=0),(-2a-b+3c+2d=0):}$
Sicuramente c'è la soluzione $(0,0,0,0)$ (in questi casi c'è sempre, ovviamente)
Come si fa a capire se ce ne sono altre?
Basta vedere se $det(A)=0$, dove $A$ è la matrice del sistema: $A=((1,1,2,1),(2,1,1,2),(1,3,-1,-8),(-2,-1,-3,2))
Se $det(A)=0$, ci sono altre soluzioni diverse dal vettor nullo, quindi i vettori sono linearmente dipendenti
e ciò significa che uno di quelle matrici è esprimibile come combinazione lineare delle altre.
Se $det(A)!=0$, gli elementi sono linearmente indipendenti.
$a((1, 2),(1,-2) ) + b((1, 1),(3,-1)) + c((2, 1),(-1,3)) + d((1, 2),(-8,2)) =((0,0),(0,0))<=>{(a+b+2c+d=0),(2a+b+c+2d=0),(a+3b-c-8d=0),(-2a-b+3c+2d=0):}$
Sicuramente c'è la soluzione $(0,0,0,0)$ (in questi casi c'è sempre, ovviamente)
Come si fa a capire se ce ne sono altre?
Basta vedere se $det(A)=0$, dove $A$ è la matrice del sistema: $A=((1,1,2,1),(2,1,1,2),(1,3,-1,-8),(-2,-1,-3,2))
Se $det(A)=0$, ci sono altre soluzioni diverse dal vettor nullo, quindi i vettori sono linearmente dipendenti
e ciò significa che uno di quelle matrici è esprimibile come combinazione lineare delle altre.
Se $det(A)!=0$, gli elementi sono linearmente indipendenti.
grazie! non conoscevo questo metodo col determinante. sul mio libro, nel capitolo che sto studiando sulle basi, non c'è.
una volta che ho trovato $det(A)=0$, c'è un procedimento "universale" per trovare la matrice esprimibile come combinazione lineare delle altre?
grazie ancora
una volta che ho trovato $det(A)=0$, c'è un procedimento "universale" per trovare la matrice esprimibile come combinazione lineare delle altre?
grazie ancora
Mi sembra di avere capito che a te non basta sapere che esista una matrice combinazione lineare delle altre,
vuoi proprio sapere qual è e qual è la combinazione (perchè poi?
)
In questo caso (sempre se $det(A)=0$, non è detto)
devi trovare quanto valgono $a,b,c,d$ facendo un po' di conti a mano, visto che, se non ho capito male,
la teoria sui determinanti e sul rango di matrici non l'hai ancora affrontata
vuoi proprio sapere qual è e qual è la combinazione (perchè poi?
)In questo caso (sempre se $det(A)=0$, non è detto)
devi trovare quanto valgono $a,b,c,d$ facendo un po' di conti a mano, visto che, se non ho capito male,
la teoria sui determinanti e sul rango di matrici non l'hai ancora affrontata
l'esercizio mi chiede di trovare la copertura lineare. dal risultato vedo che questa ha dimensione 3 e non 4. sto sbagliando ragionamento forse?
Adesso è tutto molto più chiaro.
Sì, non è necessario esprimere una matrice come combinazione delle altre.
Domanda: sai trovare il rango di $A$?
Sì, non è necessario esprimere una matrice come combinazione delle altre.
Domanda: sai trovare il rango di $A$?
lo sto studiando adesso. e comunque se non lo so lo imparo non c'è problema.
Vabbè , se non lo hai ancora fatto non si può usare.
Facendo i calcoli (li lascio a te) si ha che $det(A)=0$
Ciò significa che le matrici sono lin. dipendenti.
Quindi una di esse, ad esempio l'ultima, è esprimibile come combinazione delle altre.
Potrebbe però accadere che anche le prime tre matrici siano tra loro lin. dip.:
$ ((1, 2),(1,-2) ), ((1, 1),(3,-1)), ((2, 1),(-1,3))$
Anche qui scriviamo $a*((1, 2),(1,-2) )+b*((1, 1),(3,-1))+c*((2, 1),(-1,3))=((0,0),(0,0))$
Si avrà che deve essere $a=b=c=0$, quindi sono lin. indipendenti.
Pertanto la copertura lineare ha come elementi le prime tre matrici. Fine
Facendo i calcoli (li lascio a te) si ha che $det(A)=0$
Ciò significa che le matrici sono lin. dipendenti.
Quindi una di esse, ad esempio l'ultima, è esprimibile come combinazione delle altre.
Potrebbe però accadere che anche le prime tre matrici siano tra loro lin. dip.:
$ ((1, 2),(1,-2) ), ((1, 1),(3,-1)), ((2, 1),(-1,3))$
Anche qui scriviamo $a*((1, 2),(1,-2) )+b*((1, 1),(3,-1))+c*((2, 1),(-1,3))=((0,0),(0,0))$
Si avrà che deve essere $a=b=c=0$, quindi sono lin. indipendenti.
Pertanto la copertura lineare ha come elementi le prime tre matrici. Fine
grazie. ma come faccio a capire quale è esprimibile come combinazione lineare delle altre?
Risolvendo a mano questo:
${(a+b+2c+d=0),(2a+b+c+2d=0),(a+3b-c-8d=0),(-2a-b+3c+2d=0):}=>... =>{(3a+2b=0),(-6a-4b=0),(d=a+b),(c= -d):}=>{(a= -2/3 b),(d=1/3b),(c= -1/3 b):}$
A parte la soluzione nulla, abbiamo anche, ad esempio (scegliendo $b=3$), ${(a=-2),(b=3),(c= -1),(d=1):}$
Ciò significa che
$(-2)*((1, 2),(1,-2) ) + 3*((1, 1),(3,-1)) + (-1)*((2, 1),(-1,3)) + 1*((1, 2),(-8,2)) =((0,0),(0,0))$, ovvero (portando a destra l'ultima matrice):
$(-2)*((1, 2),(1,-2) ) + 3*((1, 1),(3,-1)) + (-1)*((2, 1),(-1,3)) =(-1)*((1, 2),(-8,2))$ ora moltiplichiamo tutto per $-1$:
$2*((1, 2),(1,-2) ) + (-3)*((1, 1),(3,-1)) + 1*((2, 1),(-1,3)) =1*((1, 2),(-8,2))$
Ecco che l'ultima matrice è combinazione lineare delle altre
${(a+b+2c+d=0),(2a+b+c+2d=0),(a+3b-c-8d=0),(-2a-b+3c+2d=0):}=>... =>{(3a+2b=0),(-6a-4b=0),(d=a+b),(c= -d):}=>{(a= -2/3 b),(d=1/3b),(c= -1/3 b):}$
A parte la soluzione nulla, abbiamo anche, ad esempio (scegliendo $b=3$), ${(a=-2),(b=3),(c= -1),(d=1):}$
Ciò significa che
$(-2)*((1, 2),(1,-2) ) + 3*((1, 1),(3,-1)) + (-1)*((2, 1),(-1,3)) + 1*((1, 2),(-8,2)) =((0,0),(0,0))$, ovvero (portando a destra l'ultima matrice):
$(-2)*((1, 2),(1,-2) ) + 3*((1, 1),(3,-1)) + (-1)*((2, 1),(-1,3)) =(-1)*((1, 2),(-8,2))$ ora moltiplichiamo tutto per $-1$:
$2*((1, 2),(1,-2) ) + (-3)*((1, 1),(3,-1)) + 1*((2, 1),(-1,3)) =1*((1, 2),(-8,2))$
Ecco che l'ultima matrice è combinazione lineare delle altre
grandissimo grazie!
L'importante è che tu abbia capito. Ciao
se non ho capito stai sicuro che torno qui a rompere. grazie
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