Dipendenza lineare
Ripetendo gli appunti e le dimostrazioni sui casi della dipendenza lineare, ho visto una dimostrazione con la seguente proposizione.
'Se un vettore dipende linearmente da un sistema dipendente da vettori indipendenti, questa dipendenza è unica'
Ecco, non sono sicuro che questa proposizione esista, in quanto sul libro non la trovo, al massimo posso scrivere la dimostrazione, per
rendere l'idea.
Grazie (la teoria non è il mio forte, me ne scuso)
'Se un vettore dipende linearmente da un sistema dipendente da vettori indipendenti, questa dipendenza è unica'
Ecco, non sono sicuro che questa proposizione esista, in quanto sul libro non la trovo, al massimo posso scrivere la dimostrazione, per
rendere l'idea.
Grazie (la teoria non è il mio forte, me ne scuso)
Risposte
Non sono convinto di averla capita appieno...
Significherà forse che un vettore si esprimerà in maniera unica come combinazione lineare dei vettori di base (e quindi linearmente indipendenti)?
Significherà forse che un vettore si esprimerà in maniera unica come combinazione lineare dei vettori di base (e quindi linearmente indipendenti)?
Cosa vuoi sapere?
La proposizione è giusta e significa quanto segue:
Se $v_1,...,v_k$ sono $k$ vettori linearmente indipendenti e se $v$ è un vettore che si può scrivere come combinazione lineare di $v_1,...,v_k$, allora i coefficienti di tale combinazione lineare sono unici, ovvero
[tex]\displaystyle v=\sum_{i=1}^k\lambda_iv_i=\sum_{i=1}^k\mu_iv_i\ \Rightarrow\ \forall\,i=1,...,k\ \lambda_i=\mu_i[/tex]
Edit: Scusa Mistake per la sovrapposizione!
La proposizione è giusta e significa quanto segue:
Se $v_1,...,v_k$ sono $k$ vettori linearmente indipendenti e se $v$ è un vettore che si può scrivere come combinazione lineare di $v_1,...,v_k$, allora i coefficienti di tale combinazione lineare sono unici, ovvero
[tex]\displaystyle v=\sum_{i=1}^k\lambda_iv_i=\sum_{i=1}^k\mu_iv_i\ \Rightarrow\ \forall\,i=1,...,k\ \lambda_i=\mu_i[/tex]
Edit: Scusa Mistake per la sovrapposizione!
Figurati meglio così... che la forma della proposizione non mi era tanto chiara!!!
in effetti non era chiara nemmeno a me! Ho una dimostrazione di mezza pagina e questa proposizione scritta male, inoltre ti chiedo che nella dipendenza lineare sul libro ho questa proposizione che è una delle 5 fondamentali:
Un vettore non nullo e lineare indipendente sempre.
Come si dimostra?
Un vettore non nullo e lineare indipendente sempre.
Come si dimostra?
fai una sua combinazione lineare nulla e verifichi banalmente che è nulla per i coefficienti nulli, che è proprio la definizione di lineare indipendenza.
Comunque io direi meglio, un unico vettore non nullo è sempre linearmente indipendente.
Comunque io direi meglio, un unico vettore non nullo è sempre linearmente indipendente.
con $ [v1 ,v2...vn] $ vettori
S linearmente dipendente se considero:
$ 0v_1+0v_2+0v_3 = (0 0 0)
$\alphav_1+$$\alpha$$v_2+...+$ $\alphav_n=0
c'è sempre la soluzione (0 0 .. 0)
c'è un altra soluzione (non è detto che ci sia) $(\alpha_1,\alpha_2 ,. . .,\alpha_n) \ne (0,0, ... ,0) iff EE j= 1..n $ $ : \alpha_j \ne 0 $ Almeno un elemento deve essere non zero.
Dato un sistema di vettori si dirà linearmente dipendente se avrà un altra soluzione oltre la n-pla (0,0, ... 0)
analogamente si dirà che i vettori $ v_1,v_2, ... ,v_n $ sono linearmente dipendenti
S linearmente dipendente se considero:
$ 0v_1+0v_2+0v_3 = (0 0 0)
$\alphav_1+$$\alpha$$v_2+...+$ $\alphav_n=0
c'è sempre la soluzione (0 0 .. 0)
c'è un altra soluzione (non è detto che ci sia) $(\alpha_1,\alpha_2 ,. . .,\alpha_n) \ne (0,0, ... ,0) iff EE j= 1..n $ $ : \alpha_j \ne 0 $ Almeno un elemento deve essere non zero.
Dato un sistema di vettori si dirà linearmente dipendente se avrà un altra soluzione oltre la n-pla (0,0, ... 0)
analogamente si dirà che i vettori $ v_1,v_2, ... ,v_n $ sono linearmente dipendenti
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