Dipendenza lineare

[Ema20031]

Buongiorno a tutti. Ho svolto il quesito molto semplice in foto; tuttavia, ho un problema: ammesso e non concesso che il procedimento sia corretto, come faccio a capire dal risultato del sistema se i vettori sono linearmente dipendenti o indipendenti? La mia supposizione è che ottenendo $a=4b$ si possa dedurre che $a$ può essere espresso come combinazione lineare $4b$, il cui scalare è non nullo, e dunque i vettori sono linearmente dipendenti. Cosa ne pensate?

[j18eos]

CIa0, benvenuta\o in questo forum;

purtroppo le immagini caricate nel web col tempo si perdono, rendendo incomprensibile la domanda posta: potresti cortesemente scrivere il testo del problema?

Ti ringrazio.
Armando j18eos

[dissonance]

"j18eos":CIa0, benvenuta\o in questo forum;

purtroppo le immagini caricate nel web col tempo si perdono, rendendo incomprensibile la domanda posta: potresti cortesemente scrivere il testo del problema?

Ti ringrazio.
Armando j18eos

Sottoscrivo. Vedere cosa è successo qua.

[Ema20031]

Arrivo subito...
Viene dato l'insieme $S$ contenente i vettori $[1,2]$ e $[-4,-8]$. Si chiede poi di verificare la dipendenza o indipendenza lineare di essi.
Dunque, ho preso due scalari $a,b$ e ho scritto la combinazione lineare (chiamo $v$ il primo vettore e $z$ il secondo): $av+bz=(0,0)$. Effettuando i dovuti calcoli, ottengo $(a,2a)+(-4b,-8b)=(0,0)$. A questo punto, metto a sistema i valori corrispondenti dei vettori: ${0=0$ ${a=4b$ (scusate non so come rappresentare i sistemi :/). A questo punto, come faccio a capire se sono linearmente dipendenti o indipendenti? Io supponevo che, siccome mi esce $a=4b$, sono linearmente dipendenti, in quanto ottengo $a$ in termini di $4b$. Confermate?

[j18eos]

Sì, ottieni che le soluzioni possibili sono i vettori \((4b,b)\) ove \(b\in\mathbb{R}\); e solo una di queste è la soluzione nulla, per cui i dati vettori sono l.i.!

[Ema20031]

Grazie mille! Per cui, in generale, se dal sistema mi escono solo soluzioni nulle, i vettori sono linearmente indipendenti; altrimenti, sono linearmente dipendenti, corretto?

[j18eos]

Sì, in sintesi sì; e sapresti spiegarne il motivo?