Dipendenza lineare
Ho tre funzioni y1= cos(x) ; y2= x^2 + x ; y3 = (cos(x))^2 +2x+2;
A occhio sono linearmente indipendenti, non posso scrivere una funzione come combinazione lineare delle altre due.
Per dimostrarlo assegno tre valori alla x e provo a risolvere il sistema :
per x = 0 --> a + 3c = 0 ;
per x= π/2 --> b((π/2)^2 + π/2) + c(π+2) = 0;
per x= 3π/2 --> b((3π/2)^2 + 3π/2) + c(3π +2) = 0;
Sottraendo la terza dalla seconda ottengo :
b(3π^2 + π) + c(2π) = 0
come posso proseguire ? Vi ringrazio.
A occhio sono linearmente indipendenti, non posso scrivere una funzione come combinazione lineare delle altre due.
Per dimostrarlo assegno tre valori alla x e provo a risolvere il sistema :
per x = 0 --> a + 3c = 0 ;
per x= π/2 --> b((π/2)^2 + π/2) + c(π+2) = 0;
per x= 3π/2 --> b((3π/2)^2 + 3π/2) + c(3π +2) = 0;
Sottraendo la terza dalla seconda ottengo :
b(3π^2 + π) + c(2π) = 0
come posso proseguire ? Vi ringrazio.
Risposte
Ciao.
Immagino che lo spazio vettoriale di partenza sia quello delle funzioni reali di una variabile reale $mathcalF$ (sul campo $RR$).
Non serve a nulla scegliere particolari valori di $x$, in questo modo non si dimostra l'indipendenza lineare dei seguenti vettori
$y_1=cosx$
$y_2=x^2+x$
$y_3=cos^2x+2x+2$
Si procede nel modo consueto, ponendo
$ay_1+by_2+cy_3=0$
e dimostrando che i soli valori possibili di $a,b,c in RR$ che rendano l'uguaglianza vera sono quelli nulli.
Sostituendo ed effettuando qualche conto, si ottiene:
$c*cos^2x+a*cosx+b*x^2+(b+2c)*x+c*2=0$
quest'uguaglianza è sempre vera ponendo
${(c=0),(a=0),(b=0),(b+2c=0),(c=0):} Rightarrow {(a=0),(b=0),(c=0):}$
quindi i tre vettori sono linearmente indipendenti.
Saluti.
Immagino che lo spazio vettoriale di partenza sia quello delle funzioni reali di una variabile reale $mathcalF$ (sul campo $RR$).
Non serve a nulla scegliere particolari valori di $x$, in questo modo non si dimostra l'indipendenza lineare dei seguenti vettori
$y_1=cosx$
$y_2=x^2+x$
$y_3=cos^2x+2x+2$
Si procede nel modo consueto, ponendo
$ay_1+by_2+cy_3=0$
e dimostrando che i soli valori possibili di $a,b,c in RR$ che rendano l'uguaglianza vera sono quelli nulli.
Sostituendo ed effettuando qualche conto, si ottiene:
$c*cos^2x+a*cosx+b*x^2+(b+2c)*x+c*2=0$
quest'uguaglianza è sempre vera ponendo
${(c=0),(a=0),(b=0),(b+2c=0),(c=0):} Rightarrow {(a=0),(b=0),(c=0):}$
quindi i tre vettori sono linearmente indipendenti.
Saluti.
Buonasera e grazie mille della risposta.
Forse mi sfugge qualcosa, ma secondo il suo ragionamento mi pare abbastanza ovvio che assegnando a : c,a,b il valore 0, la combinazione risulti uguale a zero ,visto che le tre le funzioni dipendono da questi scalari(mi corregga se sbaglio).
Proviamo con un altro esempio :
y1= (sin(x))^2 +x ;
y2= cos(x)^2;
y3= -5(sin(x))^2 -3x +2;
So per certo che è possibile scrivere y3 come combinazione lineare delle altre due(utilizzando la relazione fondamentale),se applicassi il suo ragionamento dovrei affermare che sono linearmente indipendenti ?
Per quanto riguarda il procedimento da me seguito, ho ripreso semplicemente alcuni passaggi da un esercizio fatto dal professore a lezione. La ringrazio ancora e confido in un suo intervento che mi permetta di capire finalmente questa tipologia di esercizio.
Forse mi sfugge qualcosa, ma secondo il suo ragionamento mi pare abbastanza ovvio che assegnando a : c,a,b il valore 0, la combinazione risulti uguale a zero ,visto che le tre le funzioni dipendono da questi scalari(mi corregga se sbaglio).
Proviamo con un altro esempio :
y1= (sin(x))^2 +x ;
y2= cos(x)^2;
y3= -5(sin(x))^2 -3x +2;
So per certo che è possibile scrivere y3 come combinazione lineare delle altre due(utilizzando la relazione fondamentale),se applicassi il suo ragionamento dovrei affermare che sono linearmente indipendenti ?
Per quanto riguarda il procedimento da me seguito, ho ripreso semplicemente alcuni passaggi da un esercizio fatto dal professore a lezione. La ringrazio ancora e confido in un suo intervento che mi permetta di capire finalmente questa tipologia di esercizio.
"Prodigy":
Forse mi sfugge qualcosa, ma secondo il suo ragionamento mi pare abbastanza ovvio che assegnando a : c,a,b il valore 0, la combinazione risulti uguale a zero ,visto che le tre le funzioni dipendono da questi scalari(mi corregga se sbaglio)
Nessuna delle tre funzioni $y_1,y_2,y_3$ dipende dalla terna di scalari $a,b,c$, semmai è l'intera combinazione lineare $ay_1+by_2+cy_3$ a dipendere dagli stessi.
"Prodigy":
Proviamo con un altro esempio :
y1= (sin(x))^2 +x ;
y2= cos(x)^2;
y3= -5(sin(x))^2 -3x +2;
So per certo che è possibile scrivere y3 come combinazione lineare delle altre due(utilizzando la relazione
fondamentale),se applicassi il suo ragionamento dovrei affermare che sono linearmente indipendenti ?
Assolutamente no.
La relazione fondamentale $sin^2x+cos^2x=1$ prova che le funzioni $sin^2x$, $cos^2x$ e $1$ sono linearmente dipendenti.
Per venire all'ultimo esempio, ponendo $ay_1+by_2+cy_3=0$ e sostituendo a $cos^2x$ l'espressione $1-sin^2x$, si ottiene, a conti fatti, che la combinazione lineare si annulla quando $a=3c$ e $b=-2c$ (quindi ci sono infiniti modi di annullare la combinazione lineare, non c'è solo il modo banale $a=b=c=0$), il che porta a sostenere che le tre funzioni sono linearmente dipendenti, quindi una delle tre funzioni è scrivibile come combinazione lineare delle altre due ($y_3=-3y_1+2y_2$).
Saluti.
"alessandro8":
$c*cos^2x+a*cosx+b*x^2+(b+2c)*x+c*2=0$
quest'uguaglianza è sempre vera ponendo
${(c=0),(a=0),(b=0),(b+2c=0),(c=0):} Rightarrow {(a=0),(b=0),(c=0):}$
quindi i tre vettori sono linearmente indipendenti.
No alessandro.8, Prodigy ha ragione. Come fai ad affermare che quella relazione implica il sistema da te scritto?
"Steven":
No alessandro.8, Prodigy ha ragione. Come fai ad affermare che quella relazione implica il sistema da te scritto?
Per carità, potrei effettivamente aver sbagliato io qualcosa; tu come la vedresti, Steven?
Accetto sempre di buon grado i suggerimenti altrui.
Saluti.
Ciao, in realtà mi riferivo proprio al passaggio preciso dall'uguaglianza al sistema, non ai conti (che non ho controllato ma paiono corretti). Per dedurre quel sistema, stai assumendo che i cinque vettori $cos^2(x), cos(x),x,x^2,2$ siano linearmente indipendenti, e vista la natura dell'esercizio questo sarebbe a sua volta da dimostrare.
Quindi basta scegliere un altro valore, ad esempio $x= \pi$, e ottenere un'ulteriore equazione, che se non mi sbaglio è
$-a+b(\pi^2+\pi)+c(1+2 \pi +2)=0$,
e mettere a sistema deducendo che tutti i coefficienti sono zero.
Altrimenti, in maniera breve, si può notare che la relazione
$ c*cos^2x+a*cosx+b*x^2+(b+2c)*x+2c=0 $,
diventa
$ c*cos^2x+a*cosx=-(b*x^2+(b+2c)*x+2c) $,
e che il membro a sinistra è periodico. Quindi anche il membro di destra deve esserlo, ma un polinomio non può essere periodico da cui $b*x^2+(b+2c)*x+2c=0$. In particolare se un polinomio è zero, tutti i coefficienti lo sono, da cui $b=c=0$.
Il fatto che anche $a$ sia nullo segue facilmente.
Ciao!
Quindi basta scegliere un altro valore, ad esempio $x= \pi$, e ottenere un'ulteriore equazione, che se non mi sbaglio è
$-a+b(\pi^2+\pi)+c(1+2 \pi +2)=0$,
e mettere a sistema deducendo che tutti i coefficienti sono zero.
Altrimenti, in maniera breve, si può notare che la relazione
$ c*cos^2x+a*cosx+b*x^2+(b+2c)*x+2c=0 $,
diventa
$ c*cos^2x+a*cosx=-(b*x^2+(b+2c)*x+2c) $,
e che il membro a sinistra è periodico. Quindi anche il membro di destra deve esserlo, ma un polinomio non può essere periodico da cui $b*x^2+(b+2c)*x+2c=0$. In particolare se un polinomio è zero, tutti i coefficienti lo sono, da cui $b=c=0$.
Il fatto che anche $a$ sia nullo segue facilmente.
Ciao!
Ti ringrazio per le delucidazioni, Steven.
Effettivamente non ero stato preciso al cento per cento.
Saluti.
Effettivamente non ero stato preciso al cento per cento.
Saluti.
"alessandro8":
Ti ringrazio per le delucidazioni, Steven.
Effettivamente non ero stato preciso al cento per cento.
Saluti.
Di niente! Ciao
Grazie Steven per la risposta.
Potresti essere più chiaro sul sistema che dovrei ottenere sostituendo alla x il π , l'unica cosa che mi viene in mente è questa :
π(b +2c) = 0 ?
Provo con un ulteriore esempio :
y1 = cos(x) ; y2 = x^2+x; y3 = 2cos(x) +2x^2 +4x;
a y1 + b y2 + c y3 = 0 --> ottengo cos(x)(a +2c) + x^2( b +2c) + x(b +4c) = 0
scrivo il sistema :
a= -2c ;
b = -2c;
b = -4c;
Da cui ottengo c= 0 e di conseguenza b = a = 0 ;
Potreste gentilmente verificare la correttezza ? Grazie mille.
Potresti essere più chiaro sul sistema che dovrei ottenere sostituendo alla x il π , l'unica cosa che mi viene in mente è questa :
π(b +2c) = 0 ?
Provo con un ulteriore esempio :
y1 = cos(x) ; y2 = x^2+x; y3 = 2cos(x) +2x^2 +4x;
a y1 + b y2 + c y3 = 0 --> ottengo cos(x)(a +2c) + x^2( b +2c) + x(b +4c) = 0
scrivo il sistema :
a= -2c ;
b = -2c;
b = -4c;
Da cui ottengo c= 0 e di conseguenza b = a = 0 ;
Potreste gentilmente verificare la correttezza ? Grazie mille.
[xdom="vict85"]Sposto in Geometria e Algebra Lineare.[/xdom]
In riferimento alla domanda originale, mi sembra più semplice seguire la strategia di levarsi $b$ dai piedi, cioè scegliere $x=0$ e $x=-1$ ottenendo rispettivamente
$a+3c=0$
$a \cos(-1) + c \cos^2(-1) = 0$
Dividendo la seconda per $\cos(-1)$ abbiamo $a+c \cos(-1)=0$ e questo insieme alla prima dice che $3c = c \cos(-1)$ da cui ovviamente $c=0$ essendo $\cos(-1) \ne 3$. Da questo segue facilmente che $a=b=0$.
$a+3c=0$
$a \cos(-1) + c \cos^2(-1) = 0$
Dividendo la seconda per $\cos(-1)$ abbiamo $a+c \cos(-1)=0$ e questo insieme alla prima dice che $3c = c \cos(-1)$ da cui ovviamente $c=0$ essendo $\cos(-1) \ne 3$. Da questo segue facilmente che $a=b=0$.
"Prodigy":
a y1 + b y2 + c y3 = 0 --> ottengo cos(x)(a +2c) + x^2( b +2c) + x(b +4c) = 0
scrivo il sistema :
a= -2c ;
b = -2c;
b = -4c;
Da cui ottengo c= 0 e di conseguenza b = a = 0 ;
Potreste gentilmente verificare la correttezza ? Grazie mille.
Come fai a dedurre quel sistema?
E' sempre la stessa questione: se vuoi ottenere un sistema per dedurre qualcosa sui coefficienti, devi sostituire dei valori. In questo esempio, prova subito $x=0$, $x=-1$ e $x=1$, ricordando che $\cos(1)=\cos(-1)$.
Sostituire dei valori ti permette di non avere a che fare con funzioni, ma con numeri reali ben noti, e quindi puoi scrivere un sistema da risolvere rispetto a $a,b,c$, cosa che non puoi fare se mantieni $a,b,c$ legati a delle funzioni nella variabile generica $x$. E' questo il senso dell'esercizio.
Ciao!
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