Dipendenza e indipendeza lineare!!
Salve a tutti ho un problema con un esercizio che riguarda l'indipendenza lineare, mi spiego meglio:
nell'esercizio ho uno spazio vettoriale $V(K)$ e mi si kiede di verificare per quali valori di $\alpha,\beta,\gamma,\delta in K$ il sistema di vettori $[u,\alphau+\betav,w,\gammaw+\deltaz]$ è linearmente indipendente!!
Ho provato scrivendo la combinazione lineare con $a,b,c,d$ scalari e mettendo a sistema con il vettore nullo ma risolvendo il sistema non pervengo alla soluzione!! potreste aiutarmi gentilmente???
nell'esercizio ho uno spazio vettoriale $V(K)$ e mi si kiede di verificare per quali valori di $\alpha,\beta,\gamma,\delta in K$ il sistema di vettori $[u,\alphau+\betav,w,\gammaw+\deltaz]$ è linearmente indipendente!!
Ho provato scrivendo la combinazione lineare con $a,b,c,d$ scalari e mettendo a sistema con il vettore nullo ma risolvendo il sistema non pervengo alla soluzione!! potreste aiutarmi gentilmente???
Risposte
Ma $K$ è un campo qualsiasi? Non hai altri dati? Perché altrimenti non ho idea di come trovare i valori degli scalari.
Potresti postare il sistema? Magari ci intendiamo meglio.
Potresti postare il sistema? Magari ci intendiamo meglio.
Hai provato a controllare il rango della matrice associata a quei vettori?
sul mio libro con $K$ indica un campo a valori scalari!! ecco ora posto il mio procedimento:
$au+b(\alphau+\betav)+cw+d(\gammaw+\deltaz)=0$ metto in evidenza i vettori comuni e metto a sistema ho ke:
$\{(a+b\alpha=0),(c+d\gamma=0),(b\beta=0),(d\delta=0):}$ da cui segue che:
$\{(\alpha=-a/b),(\gamma=-c/d),(\beta=0),(\delta=0):}$
da ciò dovrei dedurre ke è indipendente?' non dovrebbero essere tutti aguali a zero?
$au+b(\alphau+\betav)+cw+d(\gammaw+\deltaz)=0$ metto in evidenza i vettori comuni e metto a sistema ho ke:
$\{(a+b\alpha=0),(c+d\gamma=0),(b\beta=0),(d\delta=0):}$ da cui segue che:
$\{(\alpha=-a/b),(\gamma=-c/d),(\beta=0),(\delta=0):}$
da ciò dovrei dedurre ke è indipendente?' non dovrebbero essere tutti aguali a zero?
Secondo me non è necessario introdurre altre quattro variabili [tex]a, b, c, d[/tex] come fai tu.
Se per ipotesi i vettori [tex]\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}, \mathbf{z}[/tex] sono linearmente indipendenti, allora il problema è presto risolto perché vedi subito quali non possono essere combinazioni lineari di altri a meno che... Alcuni valori molto particolari di [tex]\alpha, \beta, \gamma, \delta[/tex] non lo consentano.
Se per ipotesi i vettori [tex]\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}, \mathbf{z}[/tex] sono linearmente indipendenti, allora il problema è presto risolto perché vedi subito quali non possono essere combinazioni lineari di altri a meno che... Alcuni valori molto particolari di [tex]\alpha, \beta, \gamma, \delta[/tex] non lo consentano.
si raptorista infatti tra le ipotesi del problema dice: supponiamo che il sistema $[u,v,w,z]$ sia indipendente!! e poi ho notato che sostituendo quei valori all'interno della combinaz lineare ottengo lche è uguale a 0!! 
grazie per il consiglio però credo che adotterò questo metodo per un pò di tempo perchè devo familiarizzare con questi ingredienti XD!! senti quindi il metodo è lo stesso anche se devo determinare l'indipendeza di un sistema al variare di due parametri?? inoltre in un altro esercizio mi si kiede di verificare per quali valori di una variabile $t$ il vettore $v_3$ dipende linearm. dal sistema $[v_1,v_2]$ come faccio??
grazie per il consiglio però credo che adotterò questo metodo per un pò di tempo perchè devo familiarizzare con questi ingredienti XD!! senti quindi il metodo è lo stesso anche se devo determinare l'indipendeza di un sistema al variare di due parametri?? inoltre in un altro esercizio mi si kiede di verificare per quali valori di una variabile $t$ il vettore $v_3$ dipende linearm. dal sistema $[v_1,v_2]$ come faccio??
Secondo me tutti questi esercizi si fanno mettendo i vettori in riga in una matrice e poi determinando il rango di tale matrice, ad esempio riducendo a scala.
Poi devi sapere la relazione tra lo spazio riga di una matrice ed il suo rango [o nozioni equivalenti, ci sono molte possibilità!] ma questa è solo una questione di studio sul libro, cosa che puoi fare egregiamente da solo.
Poi devi sapere la relazione tra lo spazio riga di una matrice ed il suo rango [o nozioni equivalenti, ci sono molte possibilità!] ma questa è solo una questione di studio sul libro, cosa che puoi fare egregiamente da solo.
no veramente la prof non c ha spiegato queste cose!! non ha parlato di rango ne di riduzione a scala!! finora ci ha solo spiegato come risolvere questi esrecizi mettendo a sistema con il vettore nullo
Secondo me, se prendi il primo sistema che hai scritto, senza passare al secondo, puoi fare la seguente deduzione: [tex]$\beta \neq 0 \, ,\delta \neq 0 \, \Rightarrow \, b=0 \, , d=0$[/tex], da cui, sostituendo nelle prime due espressioni, ottieni (indipendentemente dai valori che assumono [tex]$\alpha$[/tex] e [tex]$\gamma$[/tex]) che [tex]$a=0$[/tex] e [tex]$c=0$[/tex]. Quindi i vettori sono linearmente indipendenti. Ti rimane da vedere che succede se [tex]$\beta=0$[/tex] oppure [tex]$\delta=0$[/tex].
se $\beta,\delta=0$ si verifica quello che ho scritto nel sistema ma il fatto è che io devo determinare $\alpha,\beta,\gamma....$ in modo che siano indipendenti! il fatto che se sostuisco i valori nella combinazione lineare essa si annulla non implica che i vettori siano indipendenti dato che si annulla a causa degli scalari?
Se [tex]$\beta \neq 0 \wedge \delta \neq 0$[/tex] i vettori sono linearmente indipendenti per quel che ho scritto su.
Ma se [tex]$\beta =0 \vee \delta = 0$[/tex], basta prendere [tex]$a=-b \alpha$[/tex] oppure [tex]$c= -d \gamma$[/tex] per annullare la combinazione, senza che i coefficienti siano [tex]$a,b,c,d$[/tex] tutti nulli. Quindi hai dipendenza lineare.
Ma se [tex]$\beta =0 \vee \delta = 0$[/tex], basta prendere [tex]$a=-b \alpha$[/tex] oppure [tex]$c= -d \gamma$[/tex] per annullare la combinazione, senza che i coefficienti siano [tex]$a,b,c,d$[/tex] tutti nulli. Quindi hai dipendenza lineare.
ah ok ho capito, allora perchè i vettori siano linear. indipendenti bisogna porre $\beta,\delta!=0$ giusto?
Sì 
ok grazie mille 
Di nulla 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo