Dipendenza e indipendenza lineare AIUTO!!!!
salve ragazzi,
sto studiando algebra e vorrei sapere qual è il procedimento esatto per vedere se un sistema parametrizzato di vettori è linearmente dipendente o indipendente...
in pratica sono confuso perchè in un esercizio ho letto che se il det della matrice applicata ai vettori è diverso da zero il sistema è lin. dip. , mentre in un altro accadeva il contrario!!!!
questi sono i due esercizi:
1)sia S=[u=(1,t,0),v=(0,1,t),w=(s,0,1) un sistema di vettori.Determinare se i vettori sono lin.dip. o ind.
SVOLGIMENTO:viene utilizzata una matrice le cui colonne sono i vettori dati e si calcola il determinante.Successivamente leggo che se il det è diverso da zero il sistema è linearmente dipendente.
2)B=[u,v,w] è linearmente indipendente.Vedere se i vettori z^1=u+2w, z^2=v+w,z^3=tu+w sono lin. dip. o ind.
SVOLGIMENTO:anche in questo caso il procedimento è identico ma alla fine leggo che se il det della matrice è diverso da zero i vettori sono lin indipendenti!!!
sto studiando algebra e vorrei sapere qual è il procedimento esatto per vedere se un sistema parametrizzato di vettori è linearmente dipendente o indipendente...
in pratica sono confuso perchè in un esercizio ho letto che se il det della matrice applicata ai vettori è diverso da zero il sistema è lin. dip. , mentre in un altro accadeva il contrario!!!!
questi sono i due esercizi:
1)sia S=[u=(1,t,0),v=(0,1,t),w=(s,0,1) un sistema di vettori.Determinare se i vettori sono lin.dip. o ind.
SVOLGIMENTO:viene utilizzata una matrice le cui colonne sono i vettori dati e si calcola il determinante.Successivamente leggo che se il det è diverso da zero il sistema è linearmente dipendente.
2)B=[u,v,w] è linearmente indipendente.Vedere se i vettori z^1=u+2w, z^2=v+w,z^3=tu+w sono lin. dip. o ind.
SVOLGIMENTO:anche in questo caso il procedimento è identico ma alla fine leggo che se il det della matrice è diverso da zero i vettori sono lin indipendenti!!!
Risposte
Non vorrei dire cavolate ma, se i vettori sono linearmente indipendenti (es. $u$,$v$ e $w$ appartenenti ad $R^3$) allora il vettore nullo (in questo caso $(0,0,0)$), scritto come combinazione lineare dei suddetti vettori:
$0=a*u+b*v+c*w$
Deve presentare come unica possibilità $a=b=c=0$.
E quindi considerando $u$,$v$ e $w$ come vettori colonna abbiamo il sistema:
$[u v w]*[a;b;c]=[0;0;0]$
(scusate, non sono ancora capace di scrivere bene le matrici ed i vettori)
dove questo sistema presenta certamente la soluzione $a=b=c=0$, ma perché essa sia l'unica bisogna imporre il determinante della matrice $[u v w]$ diverso da $0$.
Spero sia giusto, è da un po' di tempo che non ripasso questi argomenti!
Ciao
$0=a*u+b*v+c*w$
Deve presentare come unica possibilità $a=b=c=0$.
E quindi considerando $u$,$v$ e $w$ come vettori colonna abbiamo il sistema:
$[u v w]*[a;b;c]=[0;0;0]$
(scusate, non sono ancora capace di scrivere bene le matrici ed i vettori)
dove questo sistema presenta certamente la soluzione $a=b=c=0$, ma perché essa sia l'unica bisogna imporre il determinante della matrice $[u v w]$ diverso da $0$.
Spero sia giusto, è da un po' di tempo che non ripasso questi argomenti!
Ciao
io ho pensato che per verificare se un sistema del genere è lin. dip. o lin. ind. bisogna calcolare il rango della matrice associata...infatti,poichè il rango di una matrice è pari al numero di righe nn banali della matrice a scala ad essa associata,abbiamo che se il det è diverso da zero tutte le righe della matrice nn sono banali e quindi i vettori sono linearmente indipendenti,se invece il det è uguale a zero vi sarà almeno una riga della matrice a scala banale e quindi combinazione lineare delle altre righe e di coseguenza i vettori saranno linearmente dipendenti.
Spero sia stato chiaro e di sapere se nn siete d accordo
Confido in un vostro aiuto!!
Grazie!!!
Spero sia stato chiaro e di sapere se nn siete d accordo
Confido in un vostro aiuto!!
Grazie!!!
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